102 得A=2012 8.设3阶矩阵的特征值为63,3,与特征值6对应的特征向量为男=(,1,1),求A 6 解:设A=x2x4x,由41=61,知{x+x+x=6① 6 又3是A的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知A-3E的秩为1 3 x3 故利用①可推出x2x-3x-x2x1-3x秩为1 x3 x5 x X6 则存在实的,、b使得{(1=2xx-3x)②成立 由①②解得x2=x3=1,x1=x4=x6=4,x5=1. 得A 9.试求一个正交的相似变换矩阵,将下列矩阵化为对角矩阵 2-20 22-2 (1)-21-2(2)25-4 0-20 45 -20 A-lE|=-21--2=(1-2-4+2) 故得特征值为A1=-2,2=1,3=4 当=-2时,由 -20x l/3 3-21x1|=0→x2|=k2,单位特征向量可取:P=|2/3 x3 当2=1时,由ᕫ 102 1 0 12 3 2 20 æ ö - = ç ÷ ç ÷ è ø A 8ˊ䆒 3 䰊ⶽ䰉ⱘ⡍ᕕؐЎ 6,3ˈ3ˈϢ⡍ᕕؐ 6 ᇍᑨⱘ⡍ᕕ৥䞣Ў T 1 Ș = (1,1,1) ˈ∖ A 㾷˖䆒 123 245 356 xxx xxx xxx æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø A ˈ⬅ 1 1 1 61 1 1 æö æö ç÷ ç÷ = ç÷ ç÷ èø èø A ˈⶹ 123 245 356 6 6 6 xxx xxx xxx ì ++= ï í ++= ïî ++= ķ জ 3 ᰃ A ⱘѠ䞡⡍ᕕؐ,ḍ᥂ᅲᇍ⿄ⶽ䰉ⱘᗻ䋼ᅮ⧚ⶹ A E - 3 ⱘ⾽Ў 1ˈ ߎ᥼ৃķ⫼߽ᬙ 1 23 2 4 5 24 5 3 56 356 3 11 1 3~ 3 3 3 x xx x x x xx x x xx xxx æ öæ ö - ç ÷ç ÷ - - è øè ø - - ⾽Ў 1. ߭ᄬ೼ᅲⱘ aǃb Փᕫ 24 5 356 (1,1,1) ( , 3, ) (1,1,1) ( , , 3) ax x x bx x x ì = - í î = - ĸ ៤ゟˊ ⬅ķĸ㾷ᕫ 23 146 5 xx xxx x == === = 1, 4, 1ˊ ᕫ 411 141 114 æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø A ˊ 9ˊ䆩∖ϔϾℷѸⱘⳌԐবᤶⶽ䰉ˈᇚϟ߫ⶽ䰉࣪Ўᇍ㾦ⶽ䰉 (1) 2 20 21 2 0 20 æ ö - ç ÷ - - ç ÷ è ø - (2) 22 2 25 4 2 45 æ ö - ç ÷ - ç ÷ è ø - - 㾷˖(1) 2 20 2 1 2 (1 )( 4)( 2) 0 2 l l l ll l l - - - =- - -= - - + - - A E ᬙᕫ⡍ᕕؐЎ 1 23 l ll =- = = 2, 1, 4ˊ ᔧ 1 l = -2ᯊˈ⬅ 1 1 2 21 3 3 4 20 1 23 2 0 2 0 22 2 x x x xk x x æ ö æö - æö æö ç ÷ ç÷ - - =Þ = ç÷ ç÷ ç÷ ç÷ è ø èø - èø èø ˈऩԡ⡍ᕕ৥䞣ৃপ: 1 1 3 2 3 2 3 æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø p ᔧ 2 l = 1ᯊ,⬅