设L的弧长为s。由于f(x,y,z)在紧集L上连续,因此一致连续。 所以对任意给定的正数E,当x=mx(△s,)充分小时,f(x,y,z)在每个 弧段PP上的振幅均小于%。于是成立 a-1∑(x),y(5)2(5)-(xO(0,0)Vx()+y2()+=°(d x2()+y2()+()dt=s=E 从而得到 f(x,y,z)ds=lima=1。 特别地,如果平面光滑曲线L的方程为 y=y(x),a≤x≤b ff(x, y)ds=lf(, y(x)/+y2(x)dx特别地，如果平面光滑曲线 L 的方程为 y = y(x), a  x  b， 则 2 ( , )d ( , ( )) 1 ( )d b a L f x y s f x y x y x x = +    。 设 L 的弧长为 s 。由于 f (x, y,z) 在紧集 L 上连续，因此一致连续。 所以对任意给定的正数  ，当 = max ( i s )充分小时， f (x, y,z)在每个 弧段Pi−1 Pi 上的振幅均小于 s  。于是成立 2 2 2 1 1 2 2 2 ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d ( ) ( ) ( )d n t i i i i t i i I f x y z f x t y t z t x t y t z t t x t y t z t t s s s          = − −  − + +     + + = =      。 从而得到 ( , , )d L f x y z s =  lim   → = 0 I