4第四章:向量组的线性相关性 复习要求 1.理解向量的概念.向量组的概念.向量组的线性表示,向量的线性相关 第一章:行列式 与线性无关的定义.向量组等价的定义, 第二幸:矩阵及其运算 给定向量组A:a1,a2,,am.和向量组B:b1,b2,b。令矩 第三章初等变换与线 第四章向量组的线性 阵A=(a1,a2,…,am),矩阵B=(b,b2,…b 第五章相似矩阵与二次型 向量b由向量组A线性表示存在一组数k1,k2…,km使 兮非齐次方程组Ax=b有解 期末考试模拟试题 模拟试题参考答案 b=ka1+k2a2+…+ kam+ R(A)=R(A,b)(P98定理1) 向量组A线性相关 存在不全为零的数k1,k2,…,km使兮齐次方程组Am=0有非零解 ka1+k2a2+…+knam=0R(A)<m(P101定理2) 主讲:张少强 向量组A线性无关 只有k1=k km=0,才使兮齐次方程组A=0只有零解 标题页 k1a1+k2a2+…+knam=0R(A)=m(P10定理2) 向量组A可由向量组BA组的每个向量都能由B线性表示兮存在s×m矩阵K,满足 线性表示 A=BK→R(A)≤R(B) 向量组A与向量组B等价A组与B组能相互线性表示 →R(4)=R(B) 第14页共30页 2.记住向量组线性相关性的有关结论:(a).向量组线性相关兮向量组中至 少有一个向量可由其余的向量线性表示;(b).向量组部分相关则整体 全屏显示 相关,反过来,若整体无关,则部分无关;(c).线性无关的向量组的每个 向量后添上一个分量仍无关;(d).m个n维的向量组,当m>n必定线性 相关.(P103定理3)天津师范大学 1òŸµ1  ™ 1Ÿ: › 9Ÿ$é 1nŸ:–CÜÜÇ . . . 1oŸ:ï˛|Ç5 . . . 1 Ÿ:Éq› Üg. œ"£[£K [£KÎâY Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 14 ê
30 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú — 4 1oŸ:ï˛|Ç5É'5 ESᶠ1. n)ï˛Vg. ï˛|Vg. ï˛|Ç5L´. ï˛Ç5É' ÜÇ5Ã'½¬. ï˛|d½¬. â½ï˛|A : a1, a2, . . . , am. ⁄ï˛|B : b1, b2, . . . , bs. -› A = (a1, a2, · · · , am), › B = (b1, b2, · · · , bs). ï˛bdï˛|AÇ5L´ 3ò|Ík1, k2, . . . , km ¶ ⇔ö‡gêß|Ax = bk) b = k1a1 + k2a2 + · · · + kmam ⇔ R(A) = R(A, b) (P.98½n1) ï˛|AÇ5É' 3ÿè"Ík1, k2, . . . , km ¶ ⇔‡gêß|Ax = 0kö") k1a1 + k2a2 + · · · + kmam = 0 ⇔ R(A) < m (P.101½n2) ï˛|AÇ5Ã' êkk1 = k2 = · · · = km = 0,‚¶ ⇔‡gêß|Ax = 0êk") k1a1 + k2a2 + · · · + kmam = 0 ⇔ R(A) = m (P.101½n2) ï˛|Aådï˛|B A|záï˛—UdBÇ5L´ ⇔ 3s × m› K,˜v Ç5L´ A = BK ⇒ R(A) 6 R(B) ï˛|AÜï˛|Bd A|ÜB|UÉpÇ5L´ ⇒ R(A) = R(B) 2. P4ï˛|Ç5É'5k'(ÿ: (a). ï˛|Ç5É'⇔ï˛|•ñ kòáï˛ådŸ{ï˛Ç5L´; (b). ï˛|‹©É'KN É', áL5, eNÃ', K‹©Ã'; (c). Ç5Ã'ï˛|zá ï˛￾V˛òᩲEÃ'; (d). mánëï˛|,m > n7½Ç5 É'. (P.103½n3)