..C=0,C,=1,y=xe (3)x'=-C@sin@t+C2 cosot，由xleo=1,x'lo=o,得 C,=1 C20=0 .'C=1,C,=1,x=cosot+sinot 5.写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程： (1)曲线在点(x,y)处切线的斜率等于该点横坐标的平方： (2)曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分. 解：(1)设曲线的方程为y=x),则曲线上点(xy)处切线的斜率为y,由条 件知y=x2，此即为所求曲线的微分方程. (2)设曲线的方程为y=),则曲线上点Px,)处法线的斜率为- 由条件知线段PQ中点的横坐标为0，所以Q的坐标为(-x,0),则有 y=0=- x+x y' 即所求曲线的微分方程为 y+2x=0. 习题11一2 1.求下列微分方程的通解： (1)xy'-yIny=0, (2)3x2+5x-5y=0: (3)-x2y=V-y: (4)y'-xy=ay2+y)方 (5)cosxsin ydx+sinxcos ydy=0, (6)ydx+(x2-4x)dy=0 解：(1)原方程可写为x少-yny=0,分离变量，得血=上在 dx yiny x 两端积分，得 ∫= 即 nlny=lnx+lnC=nCx,亦即lny=Cx,故通解为y=eo 33 ∴ 1 2 C C =0 , =1， x y xe  （3） 1 2 x C t C t         sin cos ，由 0 0 | 1 , | t t x x       ，得 1 2 C 1 C        ∴ 1 2 C C =1 , =1， x t t   cos sin   5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程： （1）曲线在点 ( , ) x y 处切线的斜率等于该点横坐标的平方； （2）曲线上点 P x y ( , ) 处的法线与 x 轴的交点为 Q ，且线段 PQ 被 y 轴平分. 解：（1）设曲线的方程为 y y x  ( ) ，则曲线上点 ( , ) x y 处切线的斜率为 y  ，由条 件知 2 y x   ，此即为所求曲线的微分方程. （2）设曲线的方程为 y y x  ( ) ，则曲线上点 P x y ( , ) 处法线的斜率为 1 y   ， 由条件知线段 PQ 中点的横坐标为 0，所以 Q 的坐标为 ( ,0) x ，则有 y 0 1 x x y      即所求曲线的微分方程为 yy x   2 0． 习题 11－2 1．求下列微分方程的通解： （1） xy y y    ln 0; （2） 2 3 5 5 0; x x y    （3） 2 2 1 1 ;    x y y  （4） 2 y xy a y y       ( ); （5） cos sin d sin cos d 0; x y x x y y   （6） 2 y x x x y d ( 4 )d 0.    解：（1）原方程可写为 ln 0 dy x y y dx   ，分离变量，得 d 1 , ln y dx y y x  两端积分，得 1 1 ln dy dx y y x    即 lnln ln ln ln y x C Cx    ，亦即 ln y Cx  ，故通解为 Cx y e 