奥赛园地(第7期解答) 1.解:问题1:4 【解法提示】∵直线解析式为y=-x+,化为一般式为3x+4y-5=0,则点P(3,4) 的距离为3×3+4x4-5 32+42 问题2:将直线的解析式化为一般式得3x+4y-4b=0, ∵直线与⊙O相切,且⊙O的半径为1, ∴点C(2,1)到直线3x+4y-4b=0的距离为1, 3×2+4×1-4b ,解得b=,或b 问题3:圆心C(2,1)到直线3x+4y+5=0的距离为3×2+4×1+=3, 32+42 圆的半径为1, ∴AB边上的高最大为3+1=4,最小值为3-1=2, ∴AB=2, △ABP面积的最大值为×2×4=4,△ABP面积的最小值为×2×2=2 12.解:(1)①∵AB=CD=1,AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形, 又∵AB=BC, ABCD是菱形 又∵∠ABC=90° 菱形ABCD是正方形 BD=v2 ②如解图①,连接AC,BD, AB=BC,AC⊥BD, ∴∠ABD=∠CBD, 又∵BD=BD △ABD≌△CBD(SAS), ∴AD=CD D 第2题解图①第2题解图②第2题解图③ (2)若EF与BC垂直,则AE≠EF,BF≠EF, ∴四边形ABFE不是等腰直角四边形,即不符合条件; 若EF与BC不垂直 ①当AE=AB时,如解图②,此时四边形ABFE是等腰直角四边形, AE=AB=5 ②当BF=AB时,如解图③,此时四边形ABFE是等腰直角四边形, DE∥BF, ∴△PED∽△PFB, DE: B=PD: PB=l: 2, DE=2.5 ∴AE=9-2.5=6.5 综上所述,AE的长为5或6.5奥赛园地（第 7 期解答） 1. 解：问题 1：4； 【解法提示】∵直线解析式为 y＝－ 3 4 x＋ 5 4 ，化为一般式为 3x＋4y－5＝0，则点 P1(3，4)到直线的距离为|3×3＋4×4－5| 3 2＋4 2 ＝4； 问题 2：将直线的解析式化为一般式得 3x＋4y－4b＝0， ∵直线与⊙O 相切，且⊙O 的半径为 1， ∴点 C(2，1)到直线 3x＋4y－4b＝0 的距离为 1， 即 |3×2＋4×1－4b| 3 2＋4 2 ＝1，解得 b＝ 5 4 或 b＝ 15 4 ； 问题 3：圆心 C(2，1)到直线 3x＋4y＋5＝0 的距离为|3×2＋4×1＋5| 3 2＋4 2 ＝3， ∵圆的半径为 1， ∴AB 边上的高最大为 3＋1＝4，最小值为 3－1＝2， ∵AB＝2， ∴△ABP 面积的最大值为1 2 ×2×4＝4，△ABP 面积的最小值为1 2 ×2×2＝2. 2. 解：（1）①∵AB＝CD＝1，AB∥CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， 又∵AB＝BC， ∴▱ABCD 是菱形． 又∵∠ABC＝90° ∴菱形 ABCD 是正方形， ∴BD＝ 2； ②如解图①，连接 AC，BD， ∵AB＝BC，AC⊥BD， ∴∠ABD＝∠CBD， 又∵BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD(SAS)， ∴AD＝CD； 第 2 题解图① 第 2 题解图② 第 2 题解图③ （2）若 EF 与 BC 垂直，则 AE≠EF，BF≠EF， ∴四边形 ABFE 不是等腰直角四边形，即不符合条件； 若 EF 与 BC 不垂直， ①当 AE＝AB 时，如解图②，此时四边形 ABFE 是等腰直角四边形， ∴AE＝AB＝5. ②当 BF＝AB 时，如解图③，此时四边形 ABFE 是等腰直角四边形， ∴BF＝AB＝5. ∵DE∥BF， ∴△PED∽△PFB， ∴DE∶BF＝PD∶PB＝1∶2， ∴DE＝2.5， ∴AE＝9－2.5＝6.5. 综上所述，AE 的长为 5 或 6.5