《数学分析》上册教案 第六章微分中伯定理及其应用 海自大学数学系 利用函数的最值性可以证明一些不等式. 例证明不等式”-ax≤1-a,x>0,0<a<1 证令f)=r-ax,则f)=a-a.令fx)=0得唯一驻点x=l.又 fx以=aa-lx-L=aa-)<0,所以f仙=1-a为极大值，从而是f)在0.+o)内 的最大值（因为）连续)，故 f(x)≤fD),x>0即x-ax≤1-a,x>0 例讨论方程xhx+a=0有几个实根. 解设创-xa,=h,/-0行装一壁盒日 当0r< 时.<0，由此得在0之上严格适减 当>时.>0，由此符f在位网心上严格港猫 放四在“处取最小值最小值为伯=a一日 又mfx)=im(xnx+a)=amf)=imxlhx+a)=+ 故1)当> 时，fx)=0无实根 2》当”一时=0仅有-个实根-日《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 9 利用函数的最值性可以证明一些不等式. 例 证明不等式 x x 1  −  −   , x  0 , 0 1    . 证 令 f x x x ( )  = − ,则 1 f x x ( )    −  = − .令 f x ( ) 0 = 得唯一驻点 x =1.又 2 1 1 ( ) ( 1) ( 1) 0 x x f x x     − = =  = − = −  ,所以 f (1) 1 = − 为极大值,从而是 f x( ) 在 (0, ) + 内 的最大值（因为 f x( ) 连续）.故 f x f ( ) (1)  , x  0 即 x x 1  −  −   , x  0 . 例 讨论方程 x x ln 0 + =  有几个实根. 解 设 f x x x ( ) ln = + , f x x ( ) ln 1 = + , f x ( ) 0 = 得唯一驻点 1 x e = . 当 1 0 x e   时, f x ( ) 0  ,由此得 f x( ) 在 1 (0, ) e 上严格递减； 当 1 x e  时, f x ( ) 0  ,由此得 f x( ) 在 1 ( , ) e + 上严格递增. 故 f x( ) 在 1 x e = 处取最小值,最小值为 1 1 f ( ) e e = −  . 又 0 0 lim ( ) lim( ln ) x x f x x x   → → + + = + = , lim ( ) lim ( ln ) x x f x x x  →+ →+ = + = + . 故 1）当 1 e   时, f x( ) 0 = 无实根； 2）当 1 e  = 时, f x( ) 0 = 仅有一个实根 1 x e =