《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 问截去多少方能使作成的匣子之容积最大？ 解如图：用x表示截去的小正方形的边长， 则得盒子容积为V=(a-2x,x∈0，引，于是问题归结为求函数 r=a-2x在0引上的最大值，因P'=(a-2xa-6),P”=0在 ®9内有唯解后.在骑点=0，一时.r=0,黄r必在后时 得最大值会=27)，即当四角截去边长为6的正方形时，所做成的合子空 例3某厂用铝合金生产装饮料用的易拉罐，为了安全，顶盖的厚度是罐身（侧面与底部）厚 度的三倍（罐身整快材料，顶盖另装），问如何确定它的底面半径和高才能使用料最省？ 解设罐身的厚度为6，则项盖的厚度为38.记易拉罐的容积为'=常数，底面半径为r,高 为京.于是，篷身的用科（体积）为-矿+2内=r+2.面限盖的用料为 U,)=36r,因此问题归结为求函数 U0)=U(r)+U,0）=64r2+25 0,+切)中的最小值，可=24r-之因此U在0，+0)只有唯一零点04红，而没 不可号点又：2r宁>0re®网，放不是0的是小值点.这时相应的高为 .即，当它的高为底面直径的2倍时用料最省。 同样的方法可以推出，若圆柱形有盖容器的外表面是用厚薄相同的材料制成的，那么当它的 底面直径和高相等的时候用料最省，许多圆柱形的日常用品，都是采用这样的比例（或近似这样 的比例)设计的. 最值问题也在社会科学尤其是经济科学中得到了广泛应用.因为经济活动的最重要目标之 一就是最小的花费去赢取最大的利润，（经济学中的“最大利润原理”）这里就不一一举例了. 8 《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 8 问截去多少方能使作成的匣子之容积最大？ 解 如图：用 x 表示截去的小正方形的边长, 则得盒子容积为 2 V x a x = − ( 2 ) , 2 [0, ]a x ,于是问题归结为求函数 2 V x a x = − ( 2 ) 在 2 [0, ]a 上的最大值 , 因 V a x a x  = − − ( 2 )( 6 ) , V = 0 在 2 (0, )a 内有唯一解 6 a x = ,在端点 x = 0 , 2 a x = 时,V = 0 ,故 V 必在 6 a x = 时 取得最大值（ 3 2 ( ) 6 27 a a V = ）.即当四角截去边长为 6 a 的正方形时,所做成的盒子容积最大. 例 3 某厂用铝合金生产装饮料用的易拉罐,为了安全,顶盖的厚度是罐身（侧面与底部）厚 度的三倍（罐身整快材料,顶盖另装）,问如何确定它的底面半径和高才能使用料最省？ 解 设罐身的厚度为  ,则顶盖的厚度为 3 .记易拉罐的容积为 V = 常数,底面半径为 r ,高 为 2 V h  r = ,于是,罐身的用料（体积）为 2 2 1 ( ) ( 2 ) ( 2 ) V U r r rh r r = + = +      ,而顶盖的用料为 2 2 U r r ( ) 3 =  ,因此问题归结为求函数 2 1 2 ( ) ( ) ( ) (4 2 ) V U r U r U r r r = + = +   在 (0, ) + 中的最小值. 2 ( ) 2 (4 ) V U r r r  = −   ,因此 U r ( ) 在 (0, ) + 只有唯一零点 3 0 4 V r  = ,而没有 不可导点.又 3 ( ) 4 (2 ) 0 V U r r  = +    , r  + (0, ) ,故 0 r 是 U r( ) 的最小值点.这时相应的高为 3 0 0 0 2 2 0 0 4 4 V r h r r r    = = = .即,当它的高为底面直径的 2 倍时用料最省. 同样的方法可以推出,若圆柱形有盖容器的外表面是用厚薄相同的材料制成的,那么当它的 底面直径和高相等的时候用料最省,许多圆柱形的日常用品,都是采用这样的比例（或近似这样 的比例）设计的. 最值问题也在社会科学尤其是经济科学中得到了广泛应用.因为经济活动的最重要目标之 一就是最小的花费去赢取最大的利润,（经济学中的“最大利润原理”）这里就不一一举例了