《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海自大学数学系 三、最大值与最小值 在实际问题中，我们经常需要考虑如何花费最小代价去获取最大收益问题，如生产易拉罐时， 要考虑在一定容积下，如何确定它的底面半径和高才能使得用料最省？又如一根圆木锯成矩形 横梁时，怎样选择矩形的长和宽，才能使横梁的强度最大？这类“最大”“最小”“最省”的问题， 在数学上可归结为“最大值最小值问题”，简称为“最值问题” 由连续函数在[a,b]上的性质，若fe[a,b]一f在[ab]上一定有最大、最小值这为求连续函 数的最大、小值提供了理论保证问题是如何求出最大、小值呢？ 函数在a,b上最大（小）值可能在x=a或b取得，也可能在(a,b)内取到，若在(a,b)内取得，则最大 (小)值点一定是极大（小）值点由于极值是在驻点与不可导点中产生的，于是，为求f在ab] 上的最大（小）值，可按以下步骤进行： 1、解方程八)=0，求出它的根，x,并算出)，3)，.，x): 2、求不可导点，并算出)，f),.,f) 3、求出区间端点的函数值f(),f(b): 4、比较)，)，)，)，代)的大小，最大一个即为最大值，最 小的一个即为最小值. 例1求函数)=-（伏2-）在区间-2,21上的最大值与最小值 解f)eC-2,2,故f四必存在最大值与最小值. -号-r-2-2- 32-,令=0得驻点方，不可导点 0,因侧务质藏计m-1,方行m-1间-有5，数 它们的大小，可知，)在区间-2,2上的最大值为诉，最小值为诉-5. 例2设有一块边长为的正方行铁皮，从其各角截去同样的小正方形，作成一个无盖方匣。《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 7 三、最大值与最小值 在实际问题中,我们经常需要考虑如何花费最小代价去获取最大收益问题,如生产易拉罐时, 要考虑在一定容积下,如何确定它的底面半径和高才能使得用料最省？又如一根圆木锯成矩形 横梁时,怎样选择矩形的长和宽,才能使横梁的强度最大？这类“最大”“最小”“最省”的问题, 在数学上可归结为“最大值最小值问题”,简称为“最值问题”. 由连续函数在[a,b]上的性质,若 f a b   [ , ] f 在[a,b]上一定有最大、最小值.这为求连续函 数的最大、小值提供了理论保证,问题是如何求出最大、小值呢？ 函数在[a,b]上最大（小）值可能在 x＝a 或 b 取得,也可能在(a,b)内取到,若在(a,b)内取得,则最大 （小）值点一定是极大（小）值点.由于极值是在驻点与不可导点中产生的,于是,为求 f 在[a,b] 上的最大（小）值,可按以下步骤进行： 1、解方程 f x ( ) 0 = ,求出它的根 1 x , 2 x , , n x 并算出 1 f x( ) , 2 f x( ) , , ( ) n f x ； 2、求不可导点 1 x  , 2 x  , , n x  并算出 1 f x( ) , 2 f x( ) , , ( ) n f x  ； 3、求出区间端点的函数值 f a( ) , f b( ) ; 4、比较 1 f x( ) , 2 f x( ) , , ( ) n f x , 1 f x( ) , 2 f x( ) , , ( ) n f x  的大小,最大一个即为最大值,最 小的一个即为最小值. 例 1 求函数 2 1 3 3 2 f x x x ( ) ( 1) = − − 在区间 [ 2,2] − 上的最大值与最小值. 解 f x C ( ) [ 2,2]  − ,故 f x( ) 必存在最大值与最小值. 2 4 1 2 2 3 3 3 3 2 1 2 3 3 2 2 1 2[( 1) ] ( ) ( 1) (2 ) 3 3 3 ( 1) x x f x x x x x x − − − −  = − − = − , 令 f x ( ) 0 = 得驻点 1 2 x =  , 不可导点 x = 0, x =1.因 f x( ) 为偶函数,仅需计算 f (0) 1 = , 1 3 ( ) 4 2 f = , f (1) 1 = , 3 3 f (2) 4 3 = − .比较 它们的大小,可知, f x( ) 在区间 [ 2,2] − 上的最大值为 3 4 ,最小值为 3 3 4 3 − . 例 2 设有一块边长为 a 的正方行铁皮,从其各角截去同样的小正方形,作成一个无盖方匣