(2)对任何<7存在x∈8使得0>a(即”是S的最小上界) 则称数为数集S的上确界。记作7=p 定义3设S是R中的一个数集,若数‘满足一下两条: (3)对一切x∈8有x≥5,即占是数集S的下界 (4)对任何月>5存在x0∈使得0<8(即5是S的最大下界) 则称数5为数集S的下确界。记作5=itS 8=1+(1) 例1(1) 则apS= 2)g={ly=snx.x∈(0,) supe= nf E= 定理1』(确界原理)设S为非空数集,若S有上界,则S必有上确界; 若S有下界,则S必有下确界。 证明(见教材) 例2非空有界数集的上(或下)确界是唯一的. 例3设S和A是非空数集,且有SA则有 supS≥supA,infS≤nfA 例4设A和B是非空数集。若对Vx∈A和y∈B,都有x≤y,则有 supA≤nfB 证y∈B,y是A的上界,书即A5y→即A是B的下 界, A≤nfB 例5A和B为非空数集,S=AUB.试证明 inf S=min(inf A, inf B) 证Vx∈S,有x∈A或x∈B,由A和fB分别是A和B的下界有 x2mfA或x2B.→x≥mt{rfA,irfB 即mn{irfA,ifB)是数集S的下界,→rS≥mn( inf A, inf B4 （2） 对任何 存在 使得 （即 是 S 的最小上界） 则称数 为数集 S 的上确界。记作 定义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条： （3） 对一切 有 ，即 是数集 S 的下界； （4） 对任何 存在 使得 （即 是 S 的最大下界） 则称数 为数集 S 的下确界。记作 例 1 ⑴ 则 ⑵ 则 定理 1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界； 若 S 有下界，则 S 必有下确界。 证明（见教材） 例 2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的. 例 3 设 和 是非空数集，且有 则有 . 例 4 设 和 是非空数集. 若对 和 都有 则有 证 是 的上界, 是 的下 界, 例 5 和 为非空数集, 试证明: 证 有 或 由 和 分别是 和 的下界,有 或 即 是数集 的下界