第9章振动习题解答 65 第9章振动习题解答 将t=0时，x=0,v=0.1代入，得：0=Acosa(1),0.1=-3.3 Asin a(2) 9.2.14质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长 a要同时满足(1)(2)，只有取a=.π2：代入(2)得A≈0.03. 10cm,框架下方有一质量为20g的小球竖直向上飞来，与框架发生 完全弹性碰撞，已知小球碰前速度为10ms,求碰后框架的运动学方 所以运动学方程为：x=0.03c0s(3.3t-受) 程。 解：以框架平衡位置为坐标原点，据题意： 92.13质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长 10cm,今有一质量为200g的铅块在高30cm处从静止开始落进框架， k=0.2×9.810.1=19.6,00=V==√2=9.9 求铅快落进框架后的运动学方程。 设小球质量为m',小球碰前速度为o,小球碰后速 解：设a为弹簧自由伸长时框架的位置， 度为V,框架碰前静止，碰后速度为o b为碰前框架的平衡位置，0为碰后平衡位置 由动量守恒：m。'=m%+mp,由牛顿碰撞公式：Vo-v'=V。 并取作坐标原点。据题意： a m ab=0.1m,k=mg/ab=0.2×9.8/0.1=19.6N/m, 6 在o点，2mg=k(ab+bo),bo=2mg/k-ab=0.1m 0 由此可求得：6=警=00=-兽≈-182ml小 设碰后铅块与框架获得的共同速度为V,由动 设运动学方程x=Acos(9.91+a),v=-9.9Asn(9.91+) 量守恒：m2gh=2m,V=√2g动12=√2×9.8×0.3/2≈1.21 代入初始条件：0=Acosa①，-1.82=-9.9Asna② 碰后框架与铅块振动的圆频率0。=√质=√器=7，设振动 由①知a=±r2,为满足②式，取a=π/2，代入②得：A=0.184 的运动学方程为x=Acos(7t+a),v=-7Asin(7t+a),将振动 所以，运动学方程为：x=0.184c0s(9.91+) 的初始条件：=0时，x=0.1,v=v=1.21代入，有： 9.2.15质量为m的物体自倾角为9的光滑斜面顶点处由静止而 -0.1=Acosa①，1.21=-7 Asin a,即-0.173=Asin② 滑下，滑行了I远后与一质量为m'的物体发生完全非弹性碰撞。m 与劲度系数为k的轻弹簧相连。碰撞前m'静止于斜面上，如图所示。 ①2+②2，得：A2=(-0.1)2+(-0.173)2≈0.04，A=0.2m,将A 问两物体碰撞后作何种运动，并解出其运动学方程。已知m=m'=5kg, k=490N/m,0=30°，=0.2m 值代入①、②中得：cosa=-0.5,sina=-0.865,a=-120°=-2π/3 解：设a为弹簧自由 所以，运动学方程为：x=0.2C0s(7t-号π) 伸长处，b为只有m时的 平衡位置，o为m与m'粘 在一起时的平衡位置.以o 为原点，建立图示0x坐第9章振动习题解答 65 第9章振动习题解答 将 t=0 时,x=0,v=0.1 代入,得：0=Acosα ⑴’, 0.1= - 3.3Asinα ⑵’ α要同时满足⑴’ ⑵’，只有取α=-π/2；代入⑵’得 A≈0.03. 所以运动学方程为： 0.03cos(3.3 ) 2  x = t − 9.2.13 质量为 200g 的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长 10cm，今有一质量为 200g 的铅块在高 30cm 处从静止开始落进框架， 求铅快落进框架后的运动学方程。 解：设 a 为弹簧自由伸长时框架的位置， b 为碰前框架的平衡位置，o 为碰后平衡位置 并取作坐标原点。据题意： ab=0.1m, k=mg/ab=0.2×9.8/0.1=19.6N/m, 在 o 点，2mg=k(ab+bo), bo=2mg/k-ab=0.1m 设碰后铅块与框架获得的共同速度为 v'，由动 量守恒: m 2gh = 2mv' ,v' = 2gh / 2 = 29.80.3 / 2 1.21 碰后框架与铅块振动的圆频率 7 2 0.2 19.6 0 2 = = = m   k ，设振动 的运动学方程为 x = Acos(7t +), v = −7Asin( 7t +) ，将振动 的初始条件：t=0 时, x = -0.1, v = v'=1.21 代入，有： −0.1= Acos ①，1.21= −7Asin,即−0.173 = Asin ② ①2+②2，得： A ( 0.1) ( 0.173) 0.04, A 0.2m 2 2 2 = − + −  = ，将 A 值代入①、②中得：cosα= -0.5, sinα= -0.865, α= -120°= -2π/3 所以，运动学方程为： 0.2cos(7 ) 3 2 x = t −  9.2.14 质量为 200g 的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长 10cm，框架下方有一质量为 20g 的小球竖直向上飞来，与框架发生 完全弹性碰撞，已知小球碰前速度为 10m/s，求碰后框架的运动学方 程。 解：以框架平衡位置为坐标原点，据题意： 0.2 9.8/ 0.1 19.6, 9.9 0.2 19.6 =  = 0 = = = m k k  设小球质量为 m'，小球碰前速度为 v0'，小球碰后速 度为 v'，框架碰前静止，碰后速度为 v0 由动量守恒： ' ' ' ' 0 0 m v = mv + m v ，由牛顿碰撞公式： ' ' 0 0 v − v = v 由此可求得： v m s m m m v 1.82 / 11 20 0.2 0.02 2 0.02 ( 10) ' 2 ' ' 0 0 = = = −  − +   − + 设运动学方程 x = Acos(9.9t +), v = −9.9Asin( 9.9t +) 代入初始条件： 0 = Acos ①， −1.82 = −9.9Asin ② 由①知α=±π/2，为满足②式，取α=π/2，代入②得：A=0.184 所以，运动学方程为： 0.184cos(9.9 ) 2  x = t + 9.2.15 质量为 m 的物体自倾角为θ的光滑斜面顶点处由静止而 滑下，滑行了 l 远后与一质量为 m’的物体发生完全非弹性碰撞。m’ 与劲度系数为 k 的轻弹簧相连。碰撞前 m’静止于斜面上，如图所示。 问两物体碰撞后作何种运动，并解出其运动学方程。已知 m=m’=5kg, k=490N/m,θ=30º,l=0.2m. 解：设 a 为弹簧自由 m 伸长处，b 为只有 m’时的 a m’ 平衡位置, o 为 m 与 m’粘 b k 在一起时的平衡位置.以 o O θ 为原点，建立图示 o-x 坐 x a m b m o x m' m v0' o x