第9章振动习题解答 64 第9章振动习题解答 安+条p=0∴0。=√条，T=恶=2π四 1=m12+m,h2,代入(1)中T=2π 22+3h2) 3g2h+1) ②：单摆的周期为T=2π，√厂“与薄圆环振动周期相等的单 摆的摆长L=2R (3)设剩余圆环的质心在c处，质量为 ①当1=1mh=0.5m时，云=√20益 2+3x0.52 ≈0.9354 m/3.据平行轴定理：1。=l+mr23;l。=mR23 2+≈1.155 =l+m(R-r)2/3,∴.l=mR2/3-m(R-r)2/3=2mRr/3-mr2fe 当1e1mhm时，云= 代入前式得1。=2mRr/3.设余环摆角为中，则 2)令T=To,即12+3h2=12+2hl,h(3h-2)=0,解得： t。=-mgr中/3.由转动定理t。H.B。,有-mgr中/3=(2mRr/3)d2中/df, 即产+条中=0，∴0，=√景，T=总=2π√臣，由于和剩余环的 h=0.h=2/3 在=0处加小物体，即把物体放在转轴处，对摆的摆动毫无影 大小无关，可知，无论剩余环多大，只要刀口支于剩余环的中央， 其振动周期就和整个圆环的振动周期相等。 响，故周期不变。由T。=2π√可知，此物理摆的等效单摆长度为 I,因此，在h=I处加小物体，相当于只增加单摆的质量，没有 9.2.111m长的杆绕过其一瑞的水平轴作微小的摆动而成为物理 摆。另一线度极小的物体与杆的质量相等，固定于杆上离转轴为 改变单摆的长度，故周期不变。 的地方。用T表示未加小物体时杆子的周期，用T表示加上小物体 以后的周期。(1)求当h=50cm和h=100am时的比值TTo.(2)是否存在 9.2.12天花板下以0.9m长的轻线悬挂一个质量为0.9kg的小 某一h值，可令T=To,若有可能，求出h值并解释为什么h取此值时 球。最初小球静止，后另一质量为0.1kg的小球沿水平方向以1.0ms 周期不变。 的速度与它发生完全非弹性碰撞。求两小球碰后的运动学方程。 解：为简便起见，借用9.2.1题中求得的结果，物理摆的周期 解：设m1=0.9kg,m2=0.1kg碰前m2的速度 T=2π√效()，其中h为摆质心到转轴的距离。 为20=1.0m/s碰后两球的共同速度为%.由动量 守恒，有m2'20=(m1+mo 未加小物体时：m=m,1=古m。2+m()子=m,1户 %==品=0.lm/s m2 v20 mi h=,代入(1)中T。=2π√ Vo 碰后两球构成一个单摆，圆频率0。=√停=√器≈3.3.设运动 加小物体后：m=2mo,h=(m,h+m)/2m。=受+， 学方程x=Acos(3.3t+m)(1),v=鲁=-3.3Asn3.3t+a)(2)第9章振动习题解答 64 第9章振动习题解答 g R R g R o g dt d o T 2 2 2 2 2 0, , 2 2       + =  = = = ⑵∵单摆的周期为 g L T = 2 ∴与薄圆环振动周期相等的单 摆的摆长 L=2R. o ⑶设剩余圆环的质心在 c 处，质量为 r m/3.据平行轴定理：Io=Ic+mr2 /3;Io’= mR2 /3 =Ic+m(R-r)2 /3,∴Ic=mR2 /3-m(R-r)2 /3=2mRr/3-mr2 /3 代入前式得 Io=2mRr/3. 设余环摆角为φ，则 τo= - mgrφ/3.由转动定理τo=Ioβo，有 –mgrφ/3=(2mRr/3)d2φ/dt2 , 即 g R R g R o g dt d o T 2 2 2 2 2 0, , 2 2       + =  = = = . 由于和剩余环的 大小无关，可知，无论剩余环多大，只要刀口支于剩余环的中央， 其振动周期就和整个圆环的振动周期相等。 9.2.11 1m 长的杆绕过其一端的水平轴作微小的摆动而成为物理 摆。另一线度极小的物体与杆的质量相等，固定于杆上离转轴为 h 的地方。用 T0 表示未加小物体时杆子的周期，用 T 表示加上小物体 以后的周期。⑴求当 h=50cm 和 h=100cm 时的比值 T//T0.⑵是否存在 某一 h 值，可令 T=T0,若有可能，求出 h 值并解释为什么 h 取此值时 周期不变。 解：为简便起见，借用 9.2.1 题中求得的结果，物理摆的周期 2 (1) mghc I T =  ，其中 hc为摆质心到转轴的距离。 未加小物体时： 2 3 0 2 1 0 2 2 12 0 1 0 m m , I m l m ( ) m l l = = + = 2 l hc = ，代入（1）中 g l T 3 2 0 = 2 . 加小物体后： 0 0 0 2 0 2 4 2 , ( )/ 2 l h l m = m hc = m h + m m = + ， 2 0 2 3 0 1 I = m l + m h ,代入（1）中 3 (2 ) 2( 3 ) 2 2 2 g h l l h T + + =  ∴ l hl l h T T 2 3 2 2 2 0 + + = ⑴当 l=1m,h=0.5m 时， 0.9354 1 2 0.5 1 1 3 0.5 2 2 2 0 =  +   +  T T 当 l=1m,h=l=1m 时， 1.155 1 2 1 1 1 3 1 2 2 2 0 =  +   +  T T ⑵令 T=T0 ， 即 3 2 , (3 2 ) 0 2 2 2 l + h = l + hl h h − l = ，解得： h=0, h=2l/3. 在 h=0 处加小物体，即把物体放在转轴处，对摆的摆动毫无影 响，故周期不变。由 g l T 3 2 0 = 2 可知，此物理摆的等效单摆长度为 l 3 2 ，因此，在 h l 3 2 = 处加小物体，相当于只增加单摆的质量，没有 改变单摆的长度，故周期不变。 9.2.12 天花板下以 0.9m 长的轻线悬挂一个质量为 0.9kg 的小 球。最初小球静止，后另一质量为 0.1kg 的小球沿水平方向以 1.0m/s 的速度与它发生完全非弹性碰撞。求两小球碰后的运动学方程。 解：设 m1=0.9kg,m2=0.1kg,碰前 m2 的速度 为 v20=1.0m/s,碰后两球的共同速度为 v0.由动量 l 守恒，有 2 20 1 2 0 m v = (m + m )v v m s m m m v 0.1 / 0.9 0.1 0.1 1.0 0 1 2 2 2 0 = = = +  + m2 v20 m1 碰后两球构成一个单摆,圆频率 3.3 0.9 9.8 0 = =  l g  .设运动 学方程 x = Acos(3.3t +) (1), v = = −3.3Asin( 3.3t +) (2) dt dx c R o' v0 o x