《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 第三章函数极限 引言 在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分 是“函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。 通过数列极限的学习.应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限 是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如，数列{a}这种变量即是 研究当n→+o时，{a}的变化趋势. 我们知道，从函数角度看，数列{a,}可视为一种特殊的函数f,其定义域为N,值域是{a}, f:N→R(n→an):或f(n)=an,n∈N或f)=an. 研究数列{a}的极限，即是研究当自变量n→+∞时，函数fm)变化趋势. 此处函数f(m)的自变量n只能取正整数：因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n→+o. 但是，如果代之正整数变量而考虑一般的变量为x∈R,那么情况又如何呢？具体地说，此时 自变量x可能的变化趋势是否了仅限于x→+0一种呢？ 为此，考虑下列函数： ()=1x0 0,x=0. 类似于数列，可考虑自变量x→+∞时，f(x)的变化趋势：除此而外，也可考虑自变量x→-∞ 时，f(x)的变化趋势：还可考虑自变量x→o时，f(x)的变化趋势：还可考虑自变量x→a时， f(x)的变化趋势，. 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化但同时 我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同.而在各类极限的性质、运算、证明 方法上都类似于数列的极限. 下面，我们就依次讨论这些极限. 《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 1 第三章 函数极限 引言 在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分 是“函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例. 通过数列极限的学习.应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限 是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如，数列 an 这种变量即是 研究当 n → + 时， an 的变化趋势. 我们知道，从函数角度看，数列 an 可视为一种特殊的函数 f ，其定义域为 N+ ，值域是 an， 即 : ( ) n f N R n a + → → ; 或 ( ) , n f n a n N =  + 或 ( ) n f n a = . 研究数列 an 的极限，即是研究当自变量 n → + 时，函数 f n( ) 变化趋势. 此处函数 f n( ) 的自变量 n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即 n → + . 但是，如果代之正整数变量 n 而考虑一般的变量为 x R  ，那么情况又如何呢？具体地说，此时 自变量 x 可能的变化趋势是否了仅限于 x → + 一种呢？ 为此，考虑下列函数: 1, 0; ( ) 0, 0. x f x x   =   = 类似于数列，可考虑自变量 x → + 时， f x( ) 的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量 x →− 时， f x( ) 的变化趋势；还可考虑自变量 x → 时， f x( ) 的变化趋势；还可考虑自变量 x a → 时， f x( ) 的变化趋势, . 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化.但同时 我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同.而在各类极限的性质、运算、证明 方法上都类似于数列的极限. 下面，我们就依次讨论这些极限