近代物理实验讲义 焦面上得到物函数g(o,o)的频谱G),此频谱面又位于傅氏透镜L2的前焦面上，在1a的后焦面 上得到频谱函数的傅里叶变换。物函数经过两次傅里叶变换又得到了原函数，只是变成了倒像 在图17.1中，P平面采用的x,坐标与P,平面的，为坐标的方向相反，因而可以消除由于两次傅里 叶变换引入的负号。如果在频谱面上插入空间滤波器就可以改变频诣函数，从而使输入信号得到 处理。在本实验中用一个复合光栅作为空间滤波器。下面具体分析复合光橘的空间滤波作用。 1,在P,平面上放置要处理的图像，其振幅透射率为g0,0),用单色平面波垂直照射在图像上， 透过图像后在P面之后的复振幅分布为g如，) 2.透镜L1对g)进行傅里叶变换 (g(xo,o)=G(faf), (17.1) 其中，{)表示对括号里面的函数进行傅立叶变换，人为，坐标系内的空间频率，下同。G, 0是物函数的空间频谱（忽略了常数项），以 :·(F是傅立叶透镜的焦距》 (17.2) 代入G6,月的表达式就得到P平面上的复振幅分布为 ue-号 (17.3) 3.把复合光橱放置在P2平面上，其振幅透射率己知为： 1()=A-cos2mE+cos2π(v+△v)] -A-B(exp(i2mE)+exp(-i2mE) (17.4) +exp[i2a(v+△v)闫+exp[-2z(v+△r)]} 透过复合光栅以后，在P,平面之后的复振幅分布为 U2(e,=U1(e,n)() (17.5) 4.透镜L2对U2(,)又进行傅里叶变换，在P3平面上得到的复振幅分布为 ucn-ue-d是是间-oUu (17.6) 符号*表示卷积，利用傅里叶变换的基本关系式进行一系列运算，我们有： U;(x.y)c Ag(x.y)-B(g(x-vAF.y)+g(x+vAF,y)) (17.7) -Bgx-(v+△v)2F,y+gx+(v+△v)F,y) 把U(x,)和一维正弦光栅的透射光波的复振幅分布 Ux-4-fcas2m-4-号m2m)-号c-2ma) (17.8) 相比较，显然可知：P平面上物频谱受到了两个一维正弦光栅的调制，即其复振幅分布相当 于由两个一维正弦光栅产生。 108近代物理实验讲义 108 焦面上得到物函数g(x0, y0)的频谱G(fξ, fη)，此频谱面又位于傅氏透镜L2的前焦面上，在L2的后焦面 上得到频谱函数的傅里叶变换。物函数经过两次傅里叶变换又得到了原函数，只是变成了倒像。 在图17.1中，P3平面采用的x, y坐标与P1平面的x0, y0坐标的方向相反，因而可以消除由于两次傅里 叶变换引入的负号。如果在频谱面上插入空间滤波器就可以改变频谱函数，从而使输入信号得到 处理。在本实验中用一个复合光栅作为空间滤波器。下面具体分析复合光栅的空间滤波作用。 1. 在 P1 平面上放置要处理的图像，其振幅透射率为 g(x0, y0)，用单色平面波垂直照射在图像上， 透过图像后在 P1 面之后的复振幅分布为 g(x0, y0)。 2. 透镜 L1 对 g(x0, y0)进行傅里叶变换 { ( , )} ( , ) 0 0 ξ η g x y = G f f ， （17.1） 其中，{ }表示对括号里面的函数进行傅立叶变换，fξ，fη为ξ，η坐标系内的空间频率，下同。G(fξ， fη)是物函数的空间频谱（忽略了常数项），以 , F f λ ξ ξ = F f λ η η = . (F 是傅立叶透镜的焦距) （17.2） 代入G(fξ，fη)的表达式就得到P2平面上的复振幅分布为 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = f F U G λ η λ ξ (ξ,η) , 1 . （17.3） 3. 把复合光栅放置在 P2 平面上，其振幅透射率已知为： exp[ 2 ( ) ] exp[ 2 ( ) ]} {exp( 2 ) exp( 2 ) ( ) [cos2 cos2 ( ) ] π ξ π ξ π ξ π ξ ξ β π ξ π ξ i v v i v v A B i v i v t A v v v + + Δ + − + Δ = − + − = − + + Δ . （17.4） 透过复合光栅以后，在P2平面之后的复振幅分布为 ( , ) ( , ) ( ) U2 ξ η =U1 ξ η t ξ . （17.5） 4. 透镜 L2 对 U2(ξ，η)又进行傅里叶变换，在 P3 平面上得到的复振幅分布为 = ∗ {( ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ( , ) = { ( , )} = , · ( ) { ( , )} ( )} 3 2 ξ ξ λ η λ ξ ξ η ξ η t G f f t F F U x y U G . （17.6） 符号*表示卷积，利用傅里叶变换的基本关系式进行一系列运算，我们有: { [ ( ) , ] [ ( ) , ]} ( , ) ( , ) { ( , ) ( , )} 3 B g x v v F y g x v v F y U x y Ag x y B g x v F y g x v F y λ λ λ λ − − + Δ + + + Δ ∝ − − + + . （17.7） 把U3(x, y)和一维正弦光栅的透射光波的复振幅分布 ( , ) cos 2 exp( 2 ) exp( 2 ) 2 2 U x y A vx A i vx i vx β β = − βπ π π = − − − . （17.8） 相比较，显然可知：P3平面上物频谱受到了两个一维正弦光栅的调制，即其复振幅分布相当 于由两个一维正弦光栅产生