676 北京科技大学学报 第35卷 E{x(t+T)x(t+T-r)}=m2(t+T.(3) 相关函数退化为普通的功率谱密度函数，表示信号 1.1循环自相关函数 中的平稳成分；当α≠0时，谱相关的非零部分则 若x()为循环平稳信号，周期为T0,其二阶 表示信号的循环平稳成分 循环统计量R(化，T)可以表示为 为理解谱相关函数表征的含义，进行如下变 换：设信号u(a,t)=x(t)·e-j2mot,v(t)=x(t), Rz(t,T)=E{x(t+nTo)x(t+nTo-T)}=Rz(t+To,T). 则式(7)可以转换为 (4) 由于Rz(t,T)具有周期性，故可以用傅里叶级数进 Rz(a,T）= u(a,t)v(t-T)dt 行展开： (t,T)= Rz(a,T)ei2nat (5) u(a,t)v(t). (9) 0=-00 从式(9)可以看出，Rr(a,r）等于求信号u(a,t) 式中，Rx(α，T)为傅里叶系数.通过傅里叶级数的 与v(t)的卷积.u(a,t)和v(t)的频谱分别为 逆变换，可以得到系数Rz(α，t)的计算表达式： U(a,f)=X(f+a)和V(f)=X(f).故对循环 R(a,T）=J- 1 自相关函数R(a,r)进行傅里叶变换，可以对应得 Rz(t,T)e-j2natdt 到S(a,f)=U(a,f)×V(f)=X(f+a)xX(f).因 此，谱相关函数的实质是描述原始频谱X()与其 Nm2N+万× 移频α后的频谱X(∫+a)的相关性，其计算过程 如图1所示. z(t+nTo)x(t+nTo-T)e-j2xatdt.(6) n=-N 原始信号x() 谱相关函数S) 令T=To(2N+1),且Rz(t,T)=Rz(t+To,T),则 求二阶循 傅里叶变 1 环统计量 傅里叶级 换 z(t)z(t-T)e-j2xatdt 阶循环统计量R,(t) 数展开 循环相关函数R,(a,) 图1 谱相关函数计算流程 ∑x(nx(n-tje-j2aam. (7) Fig.1 =0 Calculation flow chart of the spectral correlation func- 通常，将R:(α，T）也称为循环自相关函数.需 tion 要说明的是，在实际应用中，当采样点数N越大 通过计算可知，得到的谱相关函数S(a,f)是 时，意味着T越接近极限，则计算结果越精确，但 一个三维谱图，如图2所示.为方便在故障诊断中 采样点数的增加会导致计算量的增大.因此，在实 的应用，通常利用空间切片的方法，关注主要频率 际应用中采样点数N需要综合考虑信号的频率分 段的频率特征.以循环频率α为定值，取垂直α轴 辨率和计算耗时的大小来最终确定. 的切片，如图2虚线框所示，可表示在原始频谱中， 1,2谱相关函数 被循环频率α调制或半调制的载波频率谱；以自然 对于平稳信号而言，其自相关函数与功率谱密 频率∫为定值，取垂直∫轴切片，如图2实线框所 度函数是一对傅里叶变换对，通过功率谱密度函数 示，则表示调制该载波频率的所有调制或半调制频 可以描述信号二阶统计量的谱特征.同样，对于循 率谱. 环平稳信号，其循环自相关函数与谱相关函数也是 S(a.f) 一对傅里叶变换对.根据维纳-辛钦关系，谱相关 函数可以表示为 S(a,f)= Rz(a,t）e2frdr= x(t)z(t-T)e-j2m(at+fr)didr. (8) 式中，α为循环频率，∫为自然频率.可以看出，谱 图2谱相关切片示意图 相关函数S是关于α和∫的函数.当a=0时，谱 Fig.2 Schematic of a CSD slice· · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 卷 二 一二 循环 自相关函数 若 为循环平稳信号‚周期为 ‚其二阶 循环统计量 二 ‚动 可以表示为 、户、 任月、苦少、 二云‚司 老 亡 一司卜 二奸 ‚了 相关函数退化为普通的功率谱密度函数‚表示信号 中的平稳成分 当 并。时‚谱相关的非零部分则 表示信号的循环平稳成分 为理解谱相关函数表征的含义 ‚进行如下变 换 设信号 ‚ ·一 “。‘‚ ‚ 则式 可以转换为 一户 由于 二 ‚司 具有周期性‚故可以用傅里叶级数进 一 行展 开 二 ‚二 科 。 。 ‚ 艺一 亡 二‘‚二一艺 二‚丁 “以 式中‚ 二 ‚司 为傅里叶系数 通过傅里叶级数的 逆变换‚可以得到系数 二 ‚司 的计算表达式 。 ‚艺 厂夸 二 ‚丁 分 二亡‚ 一兀。‚ 一誓 一 。。 面 厄不平万又 瓷一 ‚ 厂一夸纽 几 二二一 了 从式 可以看出‚ 二 ‚司 等于求信号 试 约 与 。亡 的卷积 。 ‚ 和 。 的频谱分别为 ‚ 二 和 二 故对循环 自相关函数 二 ‚司 进行傅里叶变换‚可以对应得 到 ‚ ‚ 因 此‚谱相关函数的实质是描述原始频谱 与其 移频 后的频谱 的相关性‚其计算过程 如图 所示 亡 一二 一“兀。‘艺 令 ‚且 二艺‚司 二亡 ‚司‚则 二 ‚二 一 。〔 卜 二 一兀。‘ 原始信号 谱相关函数 。、‚刀 二阶循环统计量 凡 六劝 循环相关函数 二。劝 一 一八 一 艺 一丁一“。“ 几 通常‚将 二。‚司 也称为循环 自相关函数 需 要说 明的是 ‚在 实际应用 中‚当采样点数 越大 时‚意味着 越接近极限‚则计算结果越精确‚但 采样点数的增加会导致计算量的增大 因此‚在实 际应用 中采样点数 需要综合考虑信号的频率分 辨率和计算耗 时的大小来最终确定 谱相关函数 对于平稳信号而言‚其 自相关 函数与功率谱密 度 函数是一对傅里叶变换对 ‚通过功率谱密度函数 可以描述信号二阶统计量 的谱特征 同样 ‚对于循 环平稳信号‚其循环 自相关函数与谱相关函数也是 一对傅里叶变换对 根据维纳 一辛钦关系 ‚谱相关 函数可 以表示为 图 谱相关函数计算流程 通过计算可知‚得到的谱相关 函数 ‚ 是 一个三维谱图‚如图 所示 为方便在故障诊断中 的应用 ‚通常利用空间切片的方法 ‚关注主要频率 段的频率特征 以循环频率 为定值 ‚取垂直 轴 的切片‚如图 虚线框所示 ‚可表示在原始频谱 中‚ 被循环频率 调制或半调制的载波频率谱 以 自然 频率 为定值 ‚取垂直 轴切片 ‚如图 实线框所 示 ‚则表示调制该载波频率的所有调制或半调制频 率谱 。‚ “ 。‚‚一 · 。‚·一‚兀了·一 · ‘ · ‘一一‚· ‘ 。 ‘ · ‘ ·‚ ‘二 式中‚ 为循环频率 ‚ 为 自然频率 可 以看 出‚ 相关函数 是关于 和 的函数 当 二 时‚ 匕 一 一 一 一 图 谱相关切片示意图 谱