求a=(1,2,1,1)在该基下的坐标 解设a=xa1+x2a2+x3a3,比较等式两端的对应分量可得 10 001 l/2 0 1/2 00 0 [注a是4维向量a在V的基a1,a2,a3下的坐标为3维列向量. 5.正交基:设向量空间v的基为a,…a,若la,al=0(i≠), 称a1,…,a,为V的正交基;若还有a1|=1(=1,2,…,r), 称a1,,a,为V的标准正交基 例如:R"的标准正交基为e1,…,en, 特点:向量空间v的正交基为a1,…,ar,对于va∈V,有 a=xa1+…+x:sa,a1l Iar,n/(=1,2,…,r) 当a1,…,a1为标准正交基时,有 c=x1C1+…十xCr =Ia,c;l(=1,2,…,r) Schmidt正交化过程:设向量空间v的基为a1 令 B1=a1 B1≠0 B2=a2+k21B1,B2≠0(否则a1,a2线性相关18 求 T  = (1,2,1,1) 在该基下的坐标． 解 设  = x11 + x2 2 + x3 3 , 比较等式两端的对应分量可得：             =                       − − − 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 x x x             − →             − − − 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 1 0 1 2 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ,           − =           1 2 1 2 1 3 2 1 x x x [注]  是 4 维向量,  在 3 V 的基 1 2 3  , , 下的坐标为 3 维列向量． 5．正交基：设向量空间 V 的基为   r , , 1  , 若 [ , ] 0 (i j)  i  j =  , 称   r , , 1  为 V 的正交基；若还有 1 (i 1,2, ,r)  i = =  , 称   r , , 1  为 V 的标准正交基． 例如： n R 的标准正交基为 n e , ,e 1  ． 特点：向量空间 V 的正交基为   r , , 1  , 对于  V , 有  = x11 ++ xr r ： ( 1,2, , ) [ , ] [ , ] x i r i i i i = =      当   r , , 1  为标准正交基时, 有  = x11 ++ xr r ： x [ , ] (i 1,2, ,r) i =   i =  6．Schmidt 正交化过程：设向量空间 V 的基为   r , , 1  , 令  1 = 1 ,  1  0  2 = 2 + k211 ,  2  0 （否则 1 2  , 线性相关）