例如:前面例子中的v是R"的子空间 例9中的L(a1,…,an)也是R"的子空间 3.向量空间的基与维数:设向量空间V,若 (1)v中有r个向量a1,…,a,线性无关; (2)Va∈v可由a1,…,ar,线性表示 称a1,…a,为V的一组基称r为V的维数,记作dm=r或者v [注零空间(}没有基,规定dm{θ}=0 由条件(2)可得:V中任意r+1个向量线性相关.(自证) 若dmV=r,则V中任意r个线性无关的向量都可作为v的基 例10设向量空间v的基为a1,…,a,则V=L(a1,…,a,) 证a∈V→∝=k,a1+…+ka.∈L→VcL va∈L→a=k1a1+…+k,a∈V→Lc 4.向量在基下的坐标:设向量空间v的基为a1,…,ar,对于Va∈V 表示式a=x1a1+…+xa,唯一(定理2),称(x1…,x,)为a在 基a1,…,a,下的坐标(列向量) [注]a为n维向量,a在V的基ax1,…,a,下的坐标为r维列向量 因为线性无关的“n维向量组”最多含有n个向量,所以由 n维向量构成的向量空间的基中最多含有n个向量,故r≤n 例11设向量空间v3的基为 ar1=(,1),a2=(,-1,1),a3=(1,-1,-1,1)17 例如：前面例子中的 V0 是 n R 的子空间． 例 9 中的 ( , , ) L  1   m 也是 n R 的子空间． 3．向量空间的基与维数：设向量空间 V , 若 (1) V 中有 r 个向量   r , , 1  线性无关； (2)  V 可由   r , , 1  线性表示． 称   r , , 1  为 V 的一组基, 称 r 为 V 的维数, 记作 dimV = r 或者 r V ． [注] 零空间 { } 没有基, 规定 dim{ } = 0． 由条件(2)可得： V 中任意 r + 1 个向量线性相关．（自证） 若 dimV = r , 则 V 中任意 r 个线性无关的向量都可作为 V 的基． 例 10 设向量空间 V 的基为   r , , 1  , 则 ( , , ) V = L 1   r ． 证  V  = k11 ++ kr r  L V  L   L  = k11 ++ kr r V  L V 4．向量在基下的坐标：设向量空间 V 的基为   r , , 1  , 对于  V , 表示式  = x11 ++ xr r 唯一（定理 2）, 称 T ( , , ) x1  xr 为  在 基   r , , 1  下的坐标（列向量）． [注]  为 n 维向量,  在 V 的基   r , , 1  下的坐标为 r 维列向量． 因为线性无关的“ n 维向量组”最多含有 n 个向量, 所以由 n 维向量构成的向量空间的基中最多含有 n 个向量, 故 r  n ． 例 11 设向量空间 3 V 的基为 T (1,1,1,1) 1 = , T (1,1, 1,1)  2 = − , T (1, 1, 1,1)  3 = − −