即c1,…,cn可由b,…,b线性表示,故 rankc≤mnkB 根据上述结果可得 rankC =rank(C )=rank(B A)srank(A)=rankA §44向量空间 1.向量空间:设V是具有某些共同性质的n维向量的集合,若 对任意的a,B∈V,有a+B∈V;(加法封闭) 对任意的a∈V,k∈R,有ko∈V.(数乘封闭) 称集合V为向量空间 例如:R"={x|x=(51,52,…,5n5∈R}是向量空间 v={x|x=(0,52,…5n,5∈R}是向量空间 V={x|x=(1,52,,5n,51∈R}不是向量空间 0(1,52,…5n)=(0,0,…,0)V1,即数乘运算不封闭. 例9给定n维向量组a1,…,an(m≥1),验证 V={a|a=ka1+…+knan,k2∈R} 是向量空间,称之为由向量组a1,…,am生成的向量空间,记作 L(ar1,…,an)或者span{a1;…,an} 证设a,B∈V,则a=k1a1+…+knan,B=t1a1+…+tnan,于是有 a+B=(k1+t1)1+…+(km+tm)an∈ ka=(kk1a1+…+(kkn)an∈V(vk∈R) 由定义知,V是向量空间 2.子空间:设V1和V都是向量空间,且VcV2,称V为V2的子空间16 即 m c , ,c 1  可由 b bl , , 1  线性表示, 故 rankC  rankB． 根据上述结果可得 rankC rank(C ) rank(B A ) rank( A ) rankA T T T T = =  = §4.4 向量空间 1．向量空间：设 V 是具有某些共同性质的 n 维向量的集合, 若 对任意的 ,  V , 有  +  V ； （加法封闭） 对任意的  V , k  R, 有 k V ． （数乘封闭） 称集合 V 为向量空间． 例如： R { ( , , , ), R} = = 1 2 n i  n x x      是向量空间 { (0, , , ), R} V0 = x x =  2   n  i  是向量空间 { (1, , , ), } V1 = x x =  2   n  i  R 不是向量空间 2 1  0(1, ,  , n ) = (0,0,  ,0)V , 即数乘运算不封闭． 例 9 给定 n 维向量组 , , ( 1) 1   m m  , 验证 { , R} V =   = k11 ++ km m ki  是向量空间．称之为由向量组   m , , 1  生成的向量空间, 记作 ( , , ) L  1   m 或者 span{ , , } 1   m 证 设 ,  V , 则  = k11 ++ km m , m m  = t 11 ++ t  , 于是有  +  = (k1 + t 1 )1 ++ (km + tm ) m V k = (k k1 )1 ++ (k km ) m V (k  R) 由定义知, V 是向量空间． 2．子空间：设 V1 和 V2 都是向量空间, 且 V1 V2 , 称 V1 为 V2 的子空间．