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第7期 吴小雪等：不确定时变时滞组合系统的分散鲁棒镇定 .829. V(x(t).t)x ()[PA+ATP-PBK- KT BT P+0 ET E+EPD D P+ 产空a+亭空n成 KTEE,K十o PDDT P-十I十21武E十 马2=[XET YTE XX], 户w网r产空P -011 0 0 0 0 -1 0 0 将上式整理可得： 0 0 -I 0 V(x(t).tx"(t)Sx(t). 0 0 0 -1 其中，S由式(6)给出.由于常数矩阵S<0,所以存 由于明显地有三220，所以式(17)可写成下面的形 在a>0,使得V(x(t),t)≤x(t)Sx(t)≤ 式： -a‖x(t)‖2. 三-马12三22<0 (18) 由Lyapunov稳定性定理可知，系统(l)的闭环 ⊙ 由shr补可知，式(18)等价于 马12 三22 <0,即 系统(5)是渐近稳定的，定理证毕， 定理2如果存在正定矩阵X=diag[X1,X2, 三 XET YTE XX欲] …,X],其中X:>0(=1,2,,N)和矩阵Y,正 EX -E0I 0 0 0 常数0，E1,2,使得 EY 0 一E1I 0 0 <0(19) XET YT E卧XX武 X 0 0 -1 0 EX 一e0l 0 0 0 LEX 0 0 0 EY 0 一E1I 0 0 <0(15) 定理证毕， X 0 0 -1 0 L EX 0 0 0 一E2 3数值仿真 其中， 考虑由两个子系统组成的大系统，其中， E=AX+XAT-BY-YT BT+E0DDT+ED DI+ -0.5 0 「-1.51 产空a所+产空n A10 -2A2 L-0.7 「11 「-0.6 则系统(1)的闭环系统(5)渐近稳定，分散状态反馈 B=L-0.1,B2=1门 增益阵为K=YX1 「-0.2 证明：将(6)式两边分别左乘和右乘P,可以 H1 「0.101 0 0.1,2=00.1 得到式(6)成立的充分必要条件 「0.21 0 「0.22 07 (A-BK)P+P(A-BK)T+ H21= 0 0.1 ，H22= 0.1’ T+P-10p-1<0 (16) 「0.2201 -0.1512 0 注意到(P-)T=P-1,所以对式(6)的以上变换是 00. ,D= 0 -0.2425 合同变换，而合同变换不改变矩阵的正定性，所以 [-0.1512 0 「0.2 01 以上推理成立， 0 -0.2425,D=00.1412 令 「0.2 0 「0.1 01 X=P-1,Y=KX, E2一0 0.1412,Dm1=L00.1414’ 则式(16)化为： [0.1 「0.141401 AX-BY+XAT-YT BT+E0DDT+ E一0 0.1414,D2L 00.1' A暖+产空H成+产空+ 「0.1 0 「0.1 07 E12一0 0.141,Dm2100.1414 OXET EX+E YT ES E Y+ 0.141401 「0.101 Eh21= 2XEX十XX0 (17) 0 0.1Dm20 0.1414 令 E=AX+XAT-BY-YT BT+DDT+DD+V · （ x（ t）t）≤x T （ t）［ PA＋ A T P—PBK— K T B T P＋ε—1 0 E T E＋ε1PDb D T b P＋ ε—1 1 K T E T b Eb K＋ε0PDD T P＋ I＋ε—1 2 E ～ T h E ～ h＋ N 1—k P ∑ N i＝1 HiH T i P＋ ε2 1—k P ∑ N i＝1 D T h iDh i P］ x（t） 将上式整理可得： V · （ x（ t）t）≤x T （ t） Sx（ t） 其中S 由式（6）给出．由于常数矩阵 S＜0所以存 在 α＞0使得 V · （ x （ t ）t ） ≤ x T （ t ） Sx （ t ） ≤ —α‖x（ t）‖2． 由 Lyapunov 稳定性定理可知系统（1）的闭环 系统（5）是渐近稳定的．定理证毕． 定理2 如果存在正定矩阵 X＝diag ［ X1X2 …XN ］其中 Xi＞0（ i＝12…N）和矩阵 Y正 常数ε0ε1ε2使得 Ξ XE T Y T E T b X X E ～T h EX —ε0I 0 0 0 Eb Y 0 —ε1I 0 0 X 0 0 — I 0 E ～ h X 0 0 0 —ε2I ＜0（15） 其中 Ξ＝ AX＋XA T—BY—Y T B T＋ε0DD T＋ε1Db D T b ＋ N 1—k ∑ N i＝1 HiH T i ＋ ε2 1—k ∑ N i＝1 Dh iD T h i 则系统（1）的闭环系统（5）渐近稳定分散状态反馈 增益阵为 K＝YX —1． 证明：将（6）式两边分别左乘和右乘 P —1可以 得到式（6）成立的充分必要条件 （ A—BK） P —1＋P —1（ A—BK） T＋ T＋P —1QP —1＜0 （16） 注意到（ P —1） T ＝ P —1所以对式（6）的以上变换是 合同变换而合同变换不改变矩阵的正定性所以 以上推理成立． 令 X＝P —1Y＝ KX 则式（16）化为： AX—BY＋XA T—Y T B T＋ε0DD T＋ ε1Db D T b ＋ N 1—k ∑ N i＝1 HiH T i ＋ ε2 1—k ∑ N i＝1 Dh iD T h i＋ ε—1 0 XE T EX＋ε—1 1 Y T E T b Eb Y＋ ε—1 2 X E ～T h E ～ h X＋XX＜0 （17） 令 Ξ＝ AX＋XA T—BY—Y T B T＋ε0DD T＋ε1Db D T b ＋ N 1—k ∑ N i＝1 HiH T i ＋ ε2 1—k ∑ N i＝1 Dh iD T h i Ξ12＝［ XE T Y T E T b X X E ～T h ］ Ξ22＝ —ε—1 0 I 0 0 0 0 —ε—1 1 I 0 0 0 0 — I 0 0 0 0 —ε—1 2 I 由于明显地有 Ξ22＜0所以式（17）可写成下面的形 式： Ξ—Ξ12Ξ22ΞT 12＜0 （18） 由 Schur 补可知式（18）等价于 Ξ Ξ12 ΞT 12 Ξ22 ＜0即 Ξ XE T Y T E T b X X E ～T h EX —ε0I 0 0 0 Eb Y 0 —ε1I 0 0 X 0 0 — I 0 E ～ h X 0 0 0 —ε2I ＜0（19） 定理证毕． 3 数值仿真 考虑由两个子系统组成的大系统其中 A1＝ —0∙5 0 0 —2 A2＝ —1∙5 1 —0∙7 1 B1＝ 1 —0∙1 B2＝ —0∙6 1 H11＝ —0∙2 0 0 0∙1 H12＝ 0∙1 0 0 0∙1 H21＝ 0∙21 0 0 0∙1 H22＝ 0∙22 0 0 0∙1 H22＝ 0∙22 0 0 0∙1 D1＝ —0∙1512 0 0 —0∙2425 E1＝ —0∙1512 0 0 —0∙2425 D2＝ 0∙2 0 0 0∙1412 E2＝ 0∙2 0 0 0∙1412 Dh11＝ 0∙1 0 0 0∙1414 Eh11＝ 0∙1 0 0 0∙1414 Dh12＝ 0∙1414 0 0 0∙1 Eh12＝ 0∙1 0 0 0∙1414 Dh21＝ 0∙1 0 0 0∙1414 Eh21＝ 0∙1414 0 0 0∙1 Dh22＝ 0∙1 0 0 0∙1414 第7期 吴小雪等： 不确定时变时滞组合系统的分散鲁棒镇定 ·829·