例2设阿基米德螺线的方程为r=ab,试求 du 解由公式(32) r(e)tan+r(0) r(O-r(e)tan 8 atan 6+a0 a-ab tan 6 tan 0+6c 1-6tan 0 例3设函数f(1,f"()≠0,曲线方程为C:{=rmm0 试求 dy d2, dx dx 解=f(1)+!f"(1)=t·f"() 于是 ddtt·f"(t) dr f"(o) ddy、d d- y f or f(o dt 例4证明高阶导数的等式 (1)[ sin( bx+c)In=e"(a2+b2)2sin( bx+c+no) (2)[e cos(bx +c)]n=e(a+b)2sin( bx+c+no) 其中 b cosq=一 证先证明等式(2),当n=1时 [e cos(bs +c)]'=ae cos(bx +c)-be sin( bx+c) a+b例 2 设阿基米德螺线的方程为 r = a ，试求 dx dy 解 由公式（3.2）       ( ) ( )tan ( )tan ( ) r r r r dx dy  −  + = =     tan tan a a a a − + =     1 tan tan − + c 例 3 设函数 f（t）， f (t)  0 ，曲线方程为  ( ) ( ) ( ) : x f t C y tf t f t =  =  − 试求 2 2 , dx d y dx dy 解 f (t) tf (t) t f (t) dt dy =  +  =   f (t) dt dx =  于是 t f t t f t dt dx dt dy dx dy =    = = ( ) ( ) ( ) 1 () ( ) ( ) 2 2 f t f t t dt d dt dx dx dy dt d dx d y  =  = = 例 4 证明高阶导数的等式 （1）[ e sin( bx c) ax + ] (n)= ( ) sin( ) 2 2 2 e a b bx c n n ax + + + （2）[ e cos(bx c) ax + ] (n)= ( ) sin( ) 2 2 2 e a b bx c n n ax + + + 其中 2 2 2 2 sin ,cos a b a a b b + = +  =  证 先证明等式（2），当 n=1 时 [ e cos(bs c) ax + ]′= ae cos(bx c) be sin( bx c) ax ax + − + =         + + + − + + cos( ) sin( ) 2 2 2 2 2 2 bx c a b b bx c a b a e a b a x