线性空间与线性变换练习题 §1线性空间 1.设V={x=(x1,x2…,x)∈R"|x1=x2=…=xn}是否按向量的加法和数乘构 成R上的线性空间?若是,求出它的维数和一个基。 2.设V= ∈R2|a+b+c+d=0}是否按矩阵的加法和数乘构成R上的 线性空间?若是,求出它的维数和一个基 3.证明n阶实对称矩阵全体V和n阶实反对称矩阵全体V2均构成R的子空间, 并求它们的维数。 4.已知R4中向量 a1=(1,2,3,1) (1,1,2,-1)2, 3=(-2,-6,1,-6) =(3,4,7,-1) 求Span{a1a2a3,a4}的一个基和维数。 5.已知矩阵 212 kk (1k01 (1)求A的零空间N(A)={x∈R4|Ax=0}的基与维数 (2)求A的零空间N(A)={x∈R3|A2x=0}的基与维数 (3)求Span{a1a2,a32a4}一个基和维数。 6.已知R3中的两组基为 a1=(1,1,1)y,a2=(1,0,-1)2,a3=(1,0,1) 和 b=(1,2,1),b2=(2,3,4),b3=(3,4,3)。 (1)求向量x=(2,2,4)在基a1,a2,a3下的坐标; (2)求从基a1,a2,a3到基b,b2,b2的过渡矩阵 (3)求向量z=b+2b2-b在基a1,a2,a3下的坐标 (4)求向量y=4a1+2a2-4a3在基b1,b2,b3下的坐标。 已知R3中的两组基为 a1=(1,0.,1),a2=(1,1,-1),a3=(1,-1,1)y, 和 (3,0,1),b2=(2,0.,0)2,b3 (1)求从基a1,a2,a3到基b,b2,b3的过渡矩阵; (2)已知向量x在b,b2,b2下的坐标为(1,2,0)},求x在基a1,a2,a3下的 坐标 (3)求在基a1,a2,a3和b,b2,b3下具有相同坐标的全部向量线性空间与线性变换练习题 §1 线性空间 1．设 { ( , , , ) | } 1 2 1 2 n n n V  x  x x  x  R x  x   x 是否按向量的加法和数乘构 成 R 上的线性空间？若是，求出它的维数和一个基。 2．设                        0 2 2 a b c d c d a b V R 是否按矩阵的加法和数乘构成 R 上的 线性空间？若是，求出它的维数和一个基。 3．证明 n 阶实对称矩阵全体 V1 和 n 阶实反对称矩阵全体 V2 均构成 nn R 的子空间， 并求它们的维数。 4．已知 4 R 中向量 T (1, 2, 3, 1) a1  ， T (1,1, 2, 1) a2   ， T ( 2, 6, 1, 6) a3     ， T (3, 4, 7, 1) a4   ， 求 Span{ , , , } a1 a2 a3 a4 的一个基和维数。 5．已知矩阵            1 0 1 0 1 1 2 1 2 k A k k ( , , , )  a1 a2 a3 a4 （1）求 A 的零空间 ( ) { | } 4 N A  x R Ax  0 的基与维数； （2）求 T A 的零空间 ( ) { | } 3 A  x  A x  0 T T N R 的基与维数 （3）求 Span{ , , , } a1 a2 a3 a4 一个基和维数。 6．已知 3 R 中的两组基为 T (1, 1, 1) a1  ， T (1, 0, 1) a2   ， T (1, 0, 1) a3  ， 和 T (1, 2,1) b1  ， T (2, 3, 4) b2  ， T (3, 4, 3) b3  。 （1）求向量 T x  (2, 2, 4) 在基 a1， 2 a ， 3 a 下的坐标； （2）求从基 a1， 2 a ， 3 a 到基 1 b ，b2，b3 的过渡矩阵； （3）求向量 b1 2b2 b3 z    在基 a1， 2 a ， 3 a 下的坐标； （4）求向量 4a1 2a2 4a3 y    在基 1 b ，b2，b3 下的坐标。 7．已知 3 R 中的两组基为 T (1, 0, 1) a1  ， T (1, 1, 1) a2   ， T (1, 1, 1) a3   ， 和 T (3, 0, 1) b1  ， T (2, 0, 0) b2  ， T (0, 2, 2) b3   。 （1）求从基 a1， 2 a ， 3 a 到基 1 b ，b2，b3 的过渡矩阵； （2）已知向量 x 在 1 b ，b2，b3 下的坐标为 T (1, 2, 0) ，求 x 在基 a1， 2 a ， 3 a 下的 坐标； （3）求在基 a1， 2 a ， 3 a 和 1 b ，b2，b3 下具有相同坐标的全部向量