8.已知a,a2,a3是3维线性空间v的一个基,且 b=a1+a2-a3,b2=-n1-2n2+2an3,b2=30n+4n2-3n3 (1)证明:b,b2’b也是V的一个基; (2)求向量ξ=a1+a2+a3在基b,b2,b3下的坐标 9.设P(x)是在Rxn中的一个n次多项式,证明:P(x),P(x),…,P"(x)是 R[xn1的一个基。 10.记C[xn为次数小于n的复系数多项式全体再添上0所成的线性空间。证明 (1)P(x)=(x-a1)…(x-a-1)(x-a1)…(x-an)(i=1,2,…,n)是C[x]n的一个 基,其中a1,a2,…,an是互不相同的数; (2)若a1,a2…,an全是n次单位根(即满足x”=1),求基1,x,…,x”到 P(x)P(x)…,P(x)的过渡矩阵。 §2线性变换及其矩阵表示 1.判断下列映射中哪些是线性换,哪些不是: 1)A:R3→R3定义为,若x=(x,x2,x3),则 A(x)=(x1,x2,x3); (2)设a1,a2∈R3,A:R3→R3定义为,若x=(x1,x2x3),则 A(x)=(x1+x2)a1+(x2+x3)a2 (3)设P为m阶实矩阵,Q为n阶实矩阵,σ:Rm→R定义为, o(A)=PAQ,A∈R 2.设R3上的线性变换A对于基a1=(-1,0.,2),a2=(0,1,1),a3=(3,-10)7的 像为 Aa1=(-5,0,3)2,Aa2=(0,-16),Aa3=(-5,-1,9), (1)求A在基a1,a,a3下的表示矩阵 (2)求A在自然基e1,e2’e3下的表示矩阵; (3)求N(A)与AR)的维数。 3.设是4维线性空间。已知上的线性变换A在基a1,a2,a3,a4下的表示 矩阵为 1201 30-12 25 (1)若a=2a1+a4,求A(a); (2)求A在基a1,a3,a2,a4下的表示矩阵 (3)求A在基a1,a1+a2,a1+a2+a3,a1+a2+a3+a4下的表示矩阵 4.设=R2是实2阶实方阵全体组成的线性空间。V上的线性变换a如下定 义 o(A)=A,A∈R2,8．已知 a1， 2 a ， 3 a 是 3 维线性空间 V 的一个基，且 b1  a1  a2  a3，b2  a1  2a2  2a3 ，b3  3a1  4a2  3a3 。 （1）证明： 1 b ，b2，b3 也是 V 的一个基； （2）求向量 a1 a2 a3 ξ    在基 1 b ，b2，b3 下的坐标。 9．设 P(x) 是在 1 [ ]n R x 中的一个 n 次多项式，证明： P(x)，P(x)，…， ( ) ( ) P x n 是 1 [ ]n R x 的一个基。 10．记 n C[x] 为次数小于 n 的复系数多项式全体再添上 0 所成的线性空间。证明： （1） ( ) ( ) ( )( ) ( ) i 1 i 1 i 1 an P x  x  a  x  a  x  a   x  （ i  1,2,  ,n ）是 n C[x] 的一个 基，其中 a a an , , , 1 2  是互不相同的数； （2）若 a a an , , , 1 2  全是 n 次单位根（即满足  1 n x ），求基 1， x ，…， n1 x 到 ( ), ( ), , ( ) 1 2 P x P x P x  n 的过渡矩阵。 §2 线性变换及其矩阵表示 1．判断下列映射中哪些是线性换，哪些不是： （1） A ： 3 3 R  R 定义为，若 T (x , x , x ) x  1 2 3 ，则 T A( ) (x , x , x ) 3 3 3 2 3 x  1 ； （2）设 a1， 2 a 3 R ， A ： 3 3 R  R 定义为，若 T (x , x , x ) x  1 2 3 ，则 1 2 1 2 3 2 A(x)  (x  x )a  (x  x )a ； （3）设 P 为 m 阶实矩阵， Q 为 n 阶实矩阵，  ： mn  mn R R 定义为，  (A)  PAQ， mn AR 。 2．设 3 R 上的线性变换 A 对于基 T ( 1, 0, 2) a1   ， T (0, 1, 1) a2  ， T (3, 1, 0) a3   的 像为 T A ( 5, 0, 3) a1   ， T A (0, 1, 6) a2   ， T A ( 5, 1, 9) a3    ， （1） 求 A 在基 a1， 2 a ， 3 a 下的表示矩阵； （2） 求 A 在自然基 1 e ， 2 e ， 3 e 下的表示矩阵； （3） 求 N(A) 与 ( ) 3 A R 的维数。 3．设 V 是 4 维线性空间。已知 V 上的线性变换 A 在基 a1， 2 a ， 3 a ， 4 a 下的表示 矩阵为                1 2 1 3 2 5 3 1 3 0 1 2 1 2 0 1 。 （1）若 a  2a1  a4 ，求 A(a) ； （2）求 A 在基 a1， 3 a ， 2 a ， 4 a 下的表示矩阵； （3）求 A 在基 a1，a1  a2，a1  a2  a3 ，a1  a2  a3  a4 下的表示矩阵。 4．设 V 22  R 是实 2 阶实方阵全体组成的线性空间。 V 上的线性变换  如下定 义： * (A)  A ， 22 AR