求σ在基 B B B 下的表示矩阵 5.设R3上的线性变换A对于基 a1=(-1,0,2),a2=(0,1,1)2,a3=(3,-1 的像为 b=Aa1=(-1,0,1),b2=Aa2=(0,-12),b3=Aa3=(-1,-1,3) (1)求A在基a1,a2,a3下的表示矩阵 (2)求A(b1),Ab2),A(b3); (3)若a在基a1,a2,a3下的坐标为(5,1,1)y,求Aa)在基a1,a2,a3下的坐 标 (4)若b=(1,1,1),求Ab) (5)若c=2a1-4a2-2a3,求c关于A的原像{x∈I|A(x)=c}。 6.设R3上的线性变换A定义为:若x=(x1,x2,x3),则 A(x)=(2 x1-x2,x+ (1)求A在自然基e1,e2,e3下的表示矩阵 (2)若a=(10,-2)2,求Aa)在基a1=(2,0,1),a2=(0,-1,1)2,a3=(-1,0,2) 下的坐标 (3)证明A是可逆变换,并求A-l。 7.设σ是线性空间V上的可逆线性变换。证明:若x是V中的非零向量,则 a(x)≠0 8.设σ是线性空间上的线性变换,a1,a2,…,an是V中向量。证明:若 σ(a1)a(a2),…σ(an)线性无关,则a1,a2…,an也线性无关。 9.设V是n维线性空间,a12a2,…,an是V的一个基。已知a是V上的线性变换, 且在基a12a2,…,an下的表示矩阵为A。证明:若有a≠O∈V使得σ(a)=0,则A 是不可逆矩阵。 10.设A,B为3阶实矩阵,R3上的线性变换A,B定义为:若x∈R3,则 A(x)=Ax,B(x)=Bx。 (1)若A2=O,求A2; (2)若A可逆,求A-; (4)证明:若A与B相乘可交换,则AB=BA 11.设A,B是线性空间上的线性变换,证明:若A和B都可逆,则AB也是 上的可逆线性变换,且(AB)=B-A-。 12.设V=R2是实2阶实方阵全体组成的线性空间。V上的线性变换a如下定 义:若 (x)= 。证明σ是可逆线性变换,并求σ-1。 c d/ lcc+ 13.设σ是n维实线性空间V上的线性变换。证明:若存在实数a1,a2,…,an满 足an≠0,使得 Ⅰ=0求  在基          0 0 1 0 B11 ，          0 0 0 1 B12 ，          1 0 0 0 B21 ，          0 1 0 0 B22 下的表示矩阵。 5．设 3 R 上的线性变换 A 对于基 T ( 1, 0, 2) a1   ， T (0, 1, 1) a2  ， T (3, 1, 6) a3    的像为 T A ( 1, 0, 1) b1  a1   ， T A (0, 1, 2) b2  a2   ， T A ( 1, 1, 3) b3  a3    。 （1）求 A 在基 a1， 2 a ， 3 a 下的表示矩阵； （2）求 ( ) A b1 ， ( ) A b2 ， ( ) A b3 ； （3）若 a 在基 a1， 2 a ， 3 a 下的坐标为 T (5, 1, 1) ，求 A(a) 在基 a1， 2 a ， 3 a 下的坐 标； （4）若 T b  (1, 1,1) ，求 A(b) ； （5）若 2a1 4a2 2a3 c    ，求 c 关于 A 的原像 {x V | A(x)  c}。 6．设 3 R 上的线性变换 A 定义为：若 T (x , x , x ) x  1 2 3 ，则   T A x x x x x 1 2 2 3 1 (x)  2  ,  , 。 （1）求 A 在自然基 1 e ， 2 e ， 3 e 下的表示矩阵； （2）若 T a  (1, 0,  2) ，求 A(a) 在基 T (2, 0,1) a1  ， T (0, 1, 1) a2   ， T ( 1, 0, 2) a3   下的坐标； （3）证明 A 是可逆变换，并求 1 A 。 7．设  是线性空间 V 上的可逆线性变换。证明：若 x 是 V 中的非零向量，则  (x)  0 。 8．设  是线性空间 V 上的线性变换， a a am , , , 1 2  是 V 中向量。证明：若 ( ), ( ), , ( )  a1  a2   am 线性无关，则 a a am , , , 1 2  也线性无关。 9．设 V 是 n 维线性空间， a a an , , , 1 2  是 V 的一个基。已知  是 V 上的线性变换， 且在基 a a an , , , 1 2  下的表示矩阵为 A 。证明：若有 a  0V 使得  (a)  0 ，则 A 是不可逆矩阵。 10．设 A ， B 为 3 阶实矩阵， 3 R 上的线性变换 A ， B 定义为：若 x  3 R ，则 A(x)  Ax ， B(x)  Bx。 （1）若 A  O 2 ，求 2 A ； （2）若 A 可逆，求 1 A ； （4） 证明：若 A 与 B 相乘可交换，则 AB  BA 。 11．设 A ， B 是线性空间 V 上的线性变换，证明：若 A 和 B 都可逆，则 AB 也是 V 上的可逆线性变换，且 1 1 1 ( )    AB  B A 。 12．设 V 22  R 是实 2 阶实方阵全体组成的线性空间。 V 上的线性变换  如下定 义：若          c d a b x ，则            c c d b a b (x) 。证明  是可逆线性变换，并求 1  。 13．设  是 n 维实线性空间 V 上的线性变换。证明：若存在实数 a a an , , , 1 2  满 足 an  0 ，使得 a an an I 0 n n          1 1 1 