3.例：在正实数的全体R+中定义加法及乘数运算为 a⊕b=ab,入*a=a(a,b∈Rt,入∈R) 验证R+对上述加法与乘数运算构成线性空间 证：对加法和乘数的封闭性： 对任意的a,b∈R+,有a⊕b=ab∈R+: 对任意的入∈R,a∈R+,有入*a=a入∈R+ 运算的线性性： (①)a⊕b=ab=ba=b⊕a (i)(a⊕b)⊕c=(ab)⊕c=(ab)c=a(bc)=a⊕(bc)=a⊕(b⊕c; (i)R+中存在零元素1，对任何a∈R+,有a⊕1=a·1=a (iv)对任何a∈R+,有负元素a-1∈R+,使a⊕a-1=aa=1 (v)1*a=a=a; (vi入*（μ*a）=入*a=(a)入=a4=(u入）*a (vi)(X+)）*a=aA+=a入a=a入⊕a=入*a⊕μ*ag; (vii)入*(a⊕b)=入*(ab)=(ab)入=ab入=a入⊕b入=入*a⊕入*b. 因此，R+对于所定义的运算构成线性空间 南同济大攀 3/213. 例 : 在正实数的全体 R + 中定义加法及乘数运算为 a ⊕ b = ab, λ ∗ a = a λ (a, b ∈ R +, λ ∈ R). 验证 R + 对上述加法与乘数运算构成线性空间. 䇷: 对加法和乘数的封闭性: 对任意的 a, b ∈ R +, 有 a ⊕ b = ab ∈ R +; 对任意的 λ ∈ R, a ∈ R +, 有 λ ∗ a = a λ ∈ R +. 运算的线性性: (i) a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a; (ii)(a ⊕ b) ⊕ c = (ab) ⊕ c = (ab)c = a(bc) = a ⊕ (bc) = a ⊕ (b ⊕ c); (iii) R + 中存在零元素 1, 对任何 a ∈ R +, 有 a ⊕ 1 = a · 1 = a; (iv) 对任何 a ∈ R +, 有负元素 a −1 ∈ R +, 使 a ⊕ a −1 = aa−1 = 1; (v)1 ∗ a = a 1 = a; (vi)λ ∗ (µ ∗ a) = λ ∗ a µ = (a µ ) λ = a λµ = (µλ) ∗ a; (vii)(λ + µ) ∗ a = a λ+µ = a λa µ = a λ ⊕ a µ = λ ∗ a ⊕ µ ∗ a; (viii)λ ∗ (a ⊕ b) = λ ∗ (ab) = (ab) λ = a λb λ = a λ ⊕ b λ = λ ∗ a ⊕ λ ∗ b. 因此, R + 对于所定义的运算构成线性空间. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 3 / 21