3.例：在正实数的全体R+中定义加法及乘数运算为 a⊕b=ab,入*a=a(a,b∈Rt,入∈R) 验证R+对上述加法与乘数运算构成线性空间！ 证对法和限放的封闭 对任营的山，bR,有4由b=abER 对正的入ER,aeR+,有入a=∈R 西性 1)aeb=ab=ba=b由a 11deDc=《0eC=《hc=40e=de0C=a田b甲c 而中存在零元素1，付任何4三R,有：历1=41=化， w)对任何a∈R,有负元素a一三R,使aa=aa一=1 ta=a=a v入(4a=入=(aA=ap=0a vi+)+a=a+=aa=田a=入*a⊕ua N面入+(@eb=入*(ab=(ab)入=b=由b=人4由入+b 因此R对于所定义的运算构成线佳空间 南同济大攀 3/213. 例 : 在正实数的全体 R + 中定义加法及乘数运算为 a ⊕ b = ab, λ ∗ a = a λ (a, b ∈ R +, λ ∈ R). 验证 R + 对上述加法与乘数运算构成线性空间. 䇷: 对加法和乘数的封闭性: 对任意的 a, b ∈ R +, 有 a ⊕ b = ab ∈ R +; 对任意的 λ ∈ R, a ∈ R +, 有 λ ∗ a = a λ ∈ R +. 运算的线性性: (i) a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a; (ii)(a ⊕ b) ⊕ c = (ab) ⊕ c = (ab)c = a(bc) = a ⊕ (bc) = a ⊕ (b ⊕ c); (iii) R + 中存在零元素 1, 对任何 a ∈ R +, 有 a ⊕ 1 = a · 1 = a; (iv) 对任何 a ∈ R +, 有负元素 a −1 ∈ R +, 使 a ⊕ a −1 = aa−1 = 1; (v)1 ∗ a = a 1 = a; (vi)λ ∗ (µ ∗ a) = λ ∗ a µ = (a µ ) λ = a λµ = (µλ) ∗ a; (vii)(λ + µ) ∗ a = a λ+µ = a λa µ = a λ ⊕ a µ = λ ∗ a ⊕ µ ∗ a; (viii)λ ∗ (a ⊕ b) = λ ∗ (ab) = (ab) λ = a λb λ = a λ ⊕ b λ = λ ∗ a ⊕ λ ∗ b. 因此, R + 对于所定义的运算构成线性空间. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 3 / 21