设B是其他方法得到的关于B的线性无偏估计量： B'=C'Y 其中，C=C+D=(XX)尸X'+D,D为一固定矩阵，于是 B"=CY=C*XB+Cμ E(B)=C"XB B的无偏性要求CX=I。由于 C'X=XXXX+DX 于是，CX=I当且仅当DX=0。 B的方差-协方差矩阵为： CovB)=E(β*-B)B"-B) =E[(CY-BCY-B)门 =E[(Cμ)(Cμ)门 =E[(XX)-X'+Dμμ'[X(XX)-+D] =2(XX)X'X(XX)+(XX)XD'+DX(XX)+DD] =o2(XX)+o2DD' Cov(B)+DD DD'为主对角线元素非负的对称矩阵，由此得β的方差大于或等于最小二乘估计量B的方 差。 10、对下列模型： I Y=a+BX;+2Z+u ⅡY,=a+BX,-FZ,+u 求出B的最小二乘估计值：并将结果与下面的三变量回归方程的最小二乘估计值作比较： ΠY=a+X,+Z,+u 你认为哪一个估计值更好？ 解答：将模型I改写成(Y,-2Z,)=a+X,+4,则B的估计值为：设 * β 是其他方法得到的关于β 的线性无偏估计量： β C Y * = * 其中，C C D (X X) X D * 1 = + = ′ ′ + − ，D为一固定矩阵，于是 β C Y C Xβ C μ * * * * = = + β C Xβ * * E( ) = * β 的无偏性要求C X I * = 。由于 C X (X X) X X DX * 1 = ′ ′ + − 于是，C X I * = 当且仅当DX = 0 。 * β 的方差-协方差矩阵为： β DD X X DD X X X X X X X X X D DX X X DD X X X D μ μ X X X D C μ C μ C Y β C Y β β β β β β * * * * * * * = + ′ = ′ + ′ = ′ ′ ′ + ′ ′ ′ + ′ + ′ = ′ ′ + ′ ′ + ′ = ′ = − − ′ = − − ′ − − − − − − − 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 ) ˆ( ( ) [( ) ( ) ( ) ( ) ] [( ) ] [ ( ) ] [( )( ) ] [( )( ) ] ( ) (( )( ) ) σ σ σ σ Cov E E E Cov E DD′为主对角线元素非负的对称矩阵，由此得 * β 的方差大于或等于最小二乘估计量βˆ 的方 差。 10、对下列模型： I Yi = α + βXi + 2Zi + ui II Yi = α + βXi − βZi + ui 求出 β 的最小二乘估计值；并将结果与下面的三变量回归方程的最小二乘估计值作比较： III Yi = + Xi + Zi + ui α β γ 你认为哪一个估计值更好？ 解答：将模型 I 改写成 Yi − Zi = α + βXi + ui ( 2 ) ，则 β 的估计值为：