∑e,X,=0 ∑e,Xx=0 但不存在∑，=0。即过原点的残差和不一定为零。 8、对多元线性回归模型Y=X邱+μ，试证明随机误差项4的方差的无偏估计量为 62= e'e 。其中e为相应样本回归模型的残差向量。 n-k-1 证： 由于被解释变量的估计值与观测值之间的残差 e=Y-X邛 =Xβ+μ-X(XX)-X'(XB+μ) =μ-X(XX)-X'μ =(I-X(X'X)X =Mμ 残差的平方和为： e'e=μ'M'Mμ 因为M=(I-X(XX)1X)为对称等幂矩阵，即 M=M' M2=M'M=M 所以有 e'e=μ'Mμ E(e'e)=Eμ'I-X(XX)-X)μ) =σ2tr(I-X(XX)-X') =σ2(trl-tr(X(XX)X') =o2(n-(k+1) 其中符号“”表示矩阵的迹，其定义为矩阵主对角线元素的和。于是 02= E(e'e) n-k-1 以上过程既导出了随机误差项方差的估计量为 2=e'e n-k-1 也证明了该估计量是无偏估计量。 9、对多元线性回归模型Y=X邓+μ，试证明普通最小二乘估计量B具有最小方差性。 证：∑ = 0 i X1i e ∑ = 0 i X 2i e 但不存在∑ = 0 i e 。即过原点的残差和不一定为零。 8、对多元线性回归模型 Y = Xβ + μ ，试证明随机误差项 µ 的方差的无偏估计量为 1 ˆ 2 − − ′ = n k e e σ 。其中e 为相应样本回归模型的残差向量。 证： 由于被解释变量的估计值与观测值之间的残差 e = Y − Xβˆ Mμ I X X X X μ μ X X X X μ Xβ μ X X X X Xβ μ = = − ′ ′ = − ′ ′ = + − ′ ′ + − − − ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 残差的平方和为： e′e =μ ′M′Mμ 因为 ( ( ) ) 1 M = I − X X′X X′ − 为对称等幂矩阵，即 M M M M M M = ′ = ′ = 2 所以有 e′e = μ ′Mμ ( ( 1)) ( ( ( ) )) ( ( ) ) ( ) ( ( ( ) ) ) 2 2 1 2 1 1 = − + = − ′ ′ = − ′ ′ ′ = ′ − ′ ′ − − − n k tr tr tr E E σ σ σ I X X X X I X X X X e e μ I X X X X μ 其中符号“tr”表示矩阵的迹，其定义为矩阵主对角线元素的和。于是 1 ( ) 2 − − ′ = n k E e e σ 以上过程既导出了随机误差项方差的估计量为 1 ˆ 2 − − ′ = n k e e σ 也证明了该估计量是无偏估计量。 9、对多元线性回归模型Y = Xβ + μ ，试证明普通最小二乘估计量βˆ 具有最小方差性。 证：