《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 阳，0。血a=办且0≠6故不纺设0<6，取二2>0 2 由定义，3V∈N,当n>N时有以，-d<6→0，<a+8=a时白 又我e,当时有收-4-e告 七，当n≥mN,时有a<2之a矛盾，因此极限值必唯 性质2（有界性）如果数列a,收敛，则a,必为有界数列.即3M>0,使对n有la,上M 证明设血a.=Q取E=l,3N>0使得当>N时有b,-d<1 即|anl-laan-ak1 la,Kal+l 令 M=max(1+lall a bl az L.ay 1) 则有对nIa,长M即数列a,}有界 注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如《-)” ②在证明时必须分清何时用取定6，何时用任给6.上面定理3.2证明中必须用取定6 不能用任给s,否则N随s在变，找到的M也随s在变，界M的意义就不明确了， 性质3（保序性）设ma.=a,m4.=b ()若a>b,则存在N使得当n>N时有a.>b. (②)若存在N,当n>N时有0，≥b,则a2b(不等式性质). 《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 2 an a n = → lim ， an b n = → lim 且 a  b 故不妨设 a  b ，取 0 2  − = b a  ， 由定义，   N1 ，当 n  N1 时有 a − a   n  2 a b an a +  +  = . 又   N2 ，当 n  N2 时有 a −b   n  2 a b an b +  −  = ， 因此，当 max( , ) n  N1 N2 时有 n an a b a  +  2 矛盾，因此极限值必唯一. 性质 2（有界性）如果数列 { }n a 收敛，则 { }n a 必为有界数列.即 M  0 ，使对 n 有 | an | M 证明 设 an a n = → lim 取  =1，N  0 使得当 n  N 时有 an − a 1 即 | an | − | a || an − a |1  | an || a | +1 . 令 max(1 | |,| |,| |, ,| |) M = + a a1 a2  aN 则有对 n | an | M 即数列 { }n a 有界. 注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如 {( 1) } n − . ②在证明时必须分清何时用取定  ，何时用任给  .上面定理 3.2 证明中必须用取定  ， 不能用任给  ，否则 N 随  在变，找到的 M 也随  在变，界 M 的意义就不明确了. 性质 3（保序性） 设 an a n = → lim ， an b n = → lim ， (1) 若 a  b ，则存在 N 使得当 n  N 时有 an  bn ; (2) 若存在 N ，当 n  N 时有 an  bn ，则 a  b （不等式性质）. 证明 （1）取 0 2  − = a b  ，则存在 N1 ，当 n  N1 时 2 | | a b an a − − 