《数学分析》上册教案 第二章数列极限 海南大学数学系 从而0，>0-060+6 2 2 又布在，当>水时16-水宁与6<6+-生9 2 (2)(反证)如a<b,则由①知必3N当n>N时a,>6,这与已知矛盾. 推论（保号性）若▣a,0>6则3V,当>N时8，>6，特别地，若aa0,则 3V,当n>N时a,与a同号. 思考如把上述定理中的0，≥b换成0，>6，能否把结论改成a>6,? 例设，20(n=l2.若a,=a,则m瓦.=后 证明由保序性定理可得a20.若a=0,则g>0,3V,当n>N,时有0，<82一a,<s 即m瓦，=0=6 若a>0,则6>0，V,当m>N时有la,-akac la.-va la.-alsla,alse +va a 数列较为复杂，如何求极限？ 性质4（四则运算法则）若a,、6,都收敛，则a,+6,、a,-6,、a.b,}也都收敛。 m(a,±b)=ma,±mb。，ma.b。=lma,mb. ma。 特别地，ma=c血，c为常数如再有血，≠0则也收敛，且《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 海南大学数学系 3 从而 2 2 a b a b an a + = −  − . 又存在 N2 ，当 n  N2 时 2 | | a b bn b − −   2 2 a b a b bn b + = −  +  当 max( , ) n  N1 N2 时 n an a b b  +  2 . （2）（反证）如 a  b ，则由⑴知必 N 当 n  N 时 an  bn 这与已知矛盾. 推论（保号性） 若 an a b n =  → lim 则 N ，当 n  N 时 an  b .特别地，若 lim =  0 → an a n ，则 N ，当 n  N 时 n a 与 a 同号. 思考 如把上述定理中的 an  bn 换成 an  bn ，能否把结论改成 n n n n a b → → lim  lim ？ 例 设 an  0 （ n = 1,2,  ），若 an a n = → lim ，则 an a n = → lim 证明 由保序性定理可得 a  0.若 a = 0 ，则   0，N1 ，当 n  N1 时有 2   an    an 即 an a n = = → lim 0 . 若 a  0 ，则   0，N2 ，当 n  N2 时有 a a a | n − |    −  + − − = a a a a a a a a a n n n n | | | | | | . 数列较为复杂，如何求极限？ 性质 4（四则运算法则） 若 { }n a 、 { }n b 都收敛，则 { } an + bn 、 { } an − bn 、 { } anbn 也都收敛， 且 n n n n n n n a b a b → → → lim (  ) = lim  lim ， n n n n n n n a b a b → → → lim = lim lim . 特别地， n n n n ca c a → → lim = lim ，c 为常数如再有 lim  0 → n n b 则 { } n n b a 也收敛，且 n n n n n n n b a b a → → → = lim lim lim