《数学分析》教案 第十章定积分的应用 海南大学数学系 由此及(*)式知，所证公式成立。 例1、求摆线x=a0-sm)y=al-cos0Xa>0)一拱的弧长。 解： x0=a1-cos0,y0=asn4,由公式得 g-7,0*r0d-了2n0-osa2am子h=8a 三、直角坐标形曲线的弧长的计算公式 若曲线C:y=f),x∈[a,则当f)在a,b上连续可微时，此曲线为 光滑曲线，它的弧长公式为 s=f+2(x)dx 例2、求悬链线=+0 2从x=0到x=a>0一段的弧长。 y=ei-ex +y2-e+e2 2 4,由公式得 -j+r产ah-ee.,e 02 2 四、极坐标形曲线的弧长的计算公式 设曲线C:r=r(O),0∈[a,]将其化为参数形C: x=r(0)cos0.y=r(0)sin 0,0 e[a,]. 当()在a,)上连续，且r(O)与r(O)不同时为零时，此极坐标曲线是一光滑曲 线，其弧长的计算公式为 s=jP20)+p208 例3、求心形线r=a1+cos0a>0)的周长。 解：由公式得 g-于、P产0+rP10W=272a2u+es0W 0 《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 3 由此及（*）式知，所证公式成立。 例 1、求摆线 x = a(t − sin t), y = a(1− cost)(a  0) 一拱的弧长。 解： x'(t) = a(1− cost), y'(t) = asin t, 由公式 得 s x t y t dt a t dt     = + = − 2 0 2 2 0 2 2 ' ( ) ' ( ) 2 (1 cos ) = 8 . 2 2 sin 2 0 dt a t a =   三、直角坐标形曲线的弧长的计算公式 若曲线 C ： y = f (x), x [a,b] ，则当 f (x) 在 [a,b] 上连续可微时，此曲线为一 光滑曲线，它的弧长公式为 1 ' ( ) . 2 s f x dx b a  = + 例 2、求悬链线 2 x x e e y − + = 从 x = 0 到 x = a  0 一段的弧长。 解： 4, ( ) ,1 ' 2 ' 2 2 x x x x e e y e e y − − + + = − = 由公式得 . 2 2 1 ' ( ) 0 0 2   − − − = + = + = a a x x a a e e dx e e s f x dx 四、极坐标形曲线的弧长的计算公式 设曲线 C ：r = r(),[,]. 将其化为参数形 C ： x = r() cos, y = r()sin ,[,]. 当 r'() 在 [,] 上连续，且 r() 与 r'() 不同时为零时，此极坐标曲线是一光滑曲 线，其弧长的计算公式为 ( ) ' ( ) . 2 2 =  +      s r r d 例 3、求心形线 r = a(1+ cos)(a  0) 的周长。 解： 由公式得 =  +   = +       s r r d a d 2 0 2 2 0 2 2 ( ) ' ( ) 2 2 (1 cos )