《数学分析》教案 第十章定积分的应用 海南大学数学系 s=Nr2w+y产od 证： 对C作任意分割T:A=B,A,B,B=B,并设6，分别对 应1=a与x=B,且P)=(,儿1=l2,n-1于是与T对应地得到区 间a,]的一个分割T:a=0<<<1m1<n=B在△，=x,x]上应用微分 中值定理得 △x=x(4)-x(-1)=x(5i)△M,5i∈△ Ay,=4,)-J-)=(m)4,n∈△ 从而有 v=(n)A 由C为一光滑曲线知，→0与门→0是等价的。又由20+y严0在 [a,]上连续从而可积，因此由定义1，只需证明 R2产5+产6出=小产0*r0a (*) 记，=2G,+产m)-2G,)+y严5，.则有 57-2V2(G)+y25)+o,1 由三角不等式易证 lo≤y(m-y(:川≤y(m)-y(传，i=1,2,.n 又因y)在a,刷上连续，从而一致连续，故e>0,38>0,当P<δ时，只要 5,n,∈△，就有 水Ba=l2n 于是有 2《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 2 ' ( ) ' ( ) . 2 2 s x t y t dt    = + 证： 对 C 作任意分割 T ： A = P0 ,P1 ,P2 ,  ,Pn = B ，并设 P Pn , 0 分别对 应 t =  与 x =  ，且 P (x , y ) = (x(t ), y(t )),i =1,2, n −1. i i i i i  于是与 T 对应地得到区 间 [,] 的一个分割 ': . T  = t0  t1  tn−1  tn =  在 [ , ] i i 1 i x x  = − 上应用微分 中值定理得 ( ) ( ) '( ) , ; i i i 1 i i i i x = x t − x t − = x  t   ( ) ( ) '( ) , . i i i 1 i i i i y = y t − y t − = y  t   从而有 ' ( ) ' ( ) . 1 2 2 1 2 2 i n i i i n i T i i s =  x + y =  x  + y  t = = 由 C 为一光滑曲线知， T → 0 与 T' → 0 是等价的。又由 ' ( ) ' ( ) 2 2 x t + y t 在 [,] 上连续从而可积，因此由定义 1，只需证明 =   +   = → → = i n i i i T T T s x y t 1 2 2 0 ' 0 lim lim ' ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( ) . 2 2 x t y t dt    + （*） 记 ' ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( ), 2 2 2 2 i i i i i  = x  + y  − x  + y  则有 [ ' ( ) ' ( ) ] . 1 2 2 i i n i T i i s =  x  + y  +  t = 由三角不等式易证 y'( ) y'( ) y'( ) y'( ),i 1,2, n. i  i − i  i − i =  又因 y'(t) 在 [,] 上连续，从而一致连续，故   0,  0, 当 T'   时，只要 i i i , ，就有 ,i 1,2, .n. i =   −     于是有 ' ( ) ' ( ) . 1 1 1 2 2 −  +   =         = = = i n i i n i i i n i T i i i s x y t t t