龚光鲁,钱敏平著应用随机过程教程一与在算法和智能计算中的应用 清华大学出版社,2003 第17章 Poisson随机分析简介与典型的点过程 1.非时齐的 Poisson过程与非时齐的复合 Poisson过程与特征泛函 1.1数值函数对 Poisson过程的积分 定义17.1设N是一个强度为的 Poisson过程,对应的更新流为{n}, Tn=tn-rn1~Exp2.定义[0,∞)上的函数f(1)关于N,的积分为 ∫(s)dN ∑fr,)(N,≥D) (17.1) (N1=0) 在t给定时,它是一个随机变量其含义为∫(s)在到时刻t为止的指数流上的函数值之和 如果把∫(s)看成在时刻s发生事故的代价,那么这个积分就表示到时刻t为止,由指数流描 述的事故流所付出的总代价.由定义显见有1dN,=N 1.2 Poisson过程的特征泛函 定义172对于 Poisson过程N,及定义在[Q,刀]上的函数f(),我们把f(s)N的 特征函数在1处的值记为Φ(f),即 于是对于给定一个函数∫,就有一个数Φ(∫)与之对应,这种从函数∫到(的映射称 为泛函,又因为此泛函是通过 Poisson过程的积分生成的,所以称为 Poisson过程的特征泛 例17.3当f(s)≡9·lon(s)时, Poisson过程的特征泛函就简化为 Poisson过程在时 刻的特征函数Ee…,而当f()=91loan()+92:l()时,特征泛函就简化为 Poisson过程在时刻1与时刻t2的联合特征函数Ee+M 设1<l2≤T.那么利用 Poisson过程的独立增量性与时齐性,对于449 龚光鲁, 钱敏平著 应用随机过程教程 – 与在算法和智能计算中的应用 清华大学出版社, 2003 第 17 章 Poisson 随机分析简介与典型的点过程 1. 非时齐的 Poisson 过程与非时齐的复合 Poisson 过程与特征泛函 １．１ 数值函数对 Poisson 过程的积分 定义 17. 1 设Nt 是一个强度为l 的 Poisson 过程, 对应的更新流为{ }n t , l Tn = t n - t n-1 ~ Exp ． 定义[0,¥) 上的函数 f (t) 关于 Nt 的积分为 ï î ï í ì = ³ = å ò = 0 ( 0) ( ) ( 1)) ( ) 1 0 t n t N n s t N f N f s dN t t . (17. 1) 在t 给定时, 它是一个随机变量, 其含义为 f (s) 在到时刻t 为止的指数流上的函数值之和． 如果把 f (s) 看成在时刻 s 发生事故的代价, 那么这个积分就表示到时刻t 为止, 由指数流描 述的事故流所付出的总代价．由定义显见有 s t t ò １dN = N 0 ． １．２ Poisson 过程的特征泛函 定义 17.2 对于 Poisson 过程Nt 及定义在[0,T ]上的函数 f (t) , 我们把 s T f (s)dN 0 ò 的 特征函数在 1 处的值记为 ( f ) FN ，即 s T i f s dN N ( f Ee ( ) 0 ) ò F = ． 于是对于给定一个函数 f , 就有一个数 ( f ) FN 与之对应, 这种从函数 f 到F( f ) 的映射称 为泛函, 又因为此泛函是通过 Poisson 过程的积分生成的, 所以称为 Poisson 过程的特征泛 函． 例 17． 3 当 ( ) ( ) [0, ] f s I s t º J × 时, Poisson 过程的特征泛函就简化为 Poisson 过程在时 刻t 的特征函数 Nt i Ee q × ． 而当 ( ) ( ) ( ) 1 [0, ] 2 (0 ] 1 2 f t I t I t t t ºJ × +J × 时, 特征泛函就简化为 Poisson 过程在时刻 1 t 与时刻 2 t 的联合特征函数 ( ) 2 2 1 1 Nt Nt i Ee q × +J ． 设t 1 < t 2 £ T . 那么利用 Poisson 过程的独立增量性与时齐性, 对于