f(1)=91·lon1(1)+92·o1(D),我们得到 d(=c(91·lp.1+92 再复杂一些对于0=10<1<…<≤T,及f()=∑cL,1(t),我们类似地可以 得到 这个公式对于任意连续函数,甚至更为一般的函数,可以利用函数逼近的方法证明它仍然正 确.于是我们得到如下的定理 定理17.4 Poisson过程的特征泛函的表达公式为 此定理是 Poisson随机变量的特征函数的自然推广 1.3非时齐 Poisson过程的统计性质 我们回忆非时齐的 Poisson过程N,它是非时齐的独立增量过程.它与时齐的 Poisson 过程的不同之处仅仅在于其强度不再是一个常数λ,而是一个依赖于时间的函数A(1),称 为非时齐的 Poisson过程的强度函数.即对于s<t,随机增量N1-N,服从参数为 λ(un)dlu的 Poisson分布.据此可以通过 Poisson分布,对非时齐的 Poisson过程作随机模 设N是一个强度为(1)的非时齐的 Poisson过程它是一种记录”事故”的计数过程 将这个过程的各个计数(事故)发生的随机时刻记为0=o<1<…<n<…它们间仍 由等式 {N≥n}={rn≤l 相联系.与时齐的 Poisson过程相比,{rn}不再是更新流(稍后将证明它是 Markov 定理17.5前n个发生时刻(r1…,rn)的联合分布密度gn(3,Sn)的表达式450 ( ) ( ) ( ) 1 [0, ] 2 ( , ] 1 1 2 f t I t I t t t t =J × +J × , 我们得到 F( f) = ( 1 × [0, ] + 2 × ( , ] ) = 1 1 2 t t t F J I J I ( ( ) 2 1 2 1 1 Nt Nt Nt i Ee q × +q - 2 2 2 1 1 t Nt t i N i Ee Ee - × = q q ( 1) 1 1 - = J l i t e e ( )( 1) 2 2 - 1 - J l i t t e e ` e dt t t t t I t I 1 i[ T e ( 1) ( )] ] 2 , 1 2 ( ( ) ] 1 [ 0 , 0 - + ò = q q l e dt if t T e ( 1) ( ) 0 - ò = l . 再复杂一些, 对于0 = t 0 < t 1 <L < t n £ T , 及 ( ) ( ) ( , ] 1 0 1 f t c I t k k k t t n k å + - = = , 我们类似地可以 得到 t T i f t dN Ee ( ) 0 ò e dt N if t T f e ( 1) ( ) 0 ( ) - ò = F = l ． 这个公式对于任意连续函数, 甚至更为一般的函数, 可以利用函数逼近的方法证明它仍然正 确. 于是我们得到如下的定理. 定理 17. 4 Poisson 过程的特征泛函的表达公式为 t T i f t dN Ee ( ) 0 ò e dt N if t T f e ( 1) ( ) 0 ( ) - ò = F = l . (17. 2) 此定理是 Poisson 随机变量的特征函数的自然推广. １．３ 非时齐 Poisson 过程的统计性质 我们回忆非时齐的 Poisson 过程Nt , 它是非时齐的独立增量过程．它与时齐的 Poisson 过程的不同之处仅仅在于其强度不再是一个常数l , 而是一个依赖于时间的函数l(t) , 称 为非时齐的 Poisson 过程的强度函数．即对于s < t , 随机增量Nt - Ns 服从参数为 u du t s l( ) ò 的 Poisson 分布．据此可以通过 Poisson 分布, 对非时齐的 Poisson 过程作随机模 拟． 设 Nt 是一个强度为l(t) 的非时齐的 Poisson 过程, 它是一种记录 ”事故” 的计数过程, 将这个过程的各个计数(事故)发生的随机时刻记为 0 = t 0 < t 1 < L < t n < L. 它们间仍 由等式 {N n} { t} t ³ = t n £ 相联系．与时齐的 Poisson 过程相比，{ }n t 不再是更新流 (稍后将证明它是 Markov 链)． 定理 17. ５ 前n 个发生时刻( , , ) 1 n t L t 的联合分布密度 ( , , ) 1 , , 1 n g s s t L t n L 的表达式 为