在la,b上连续,证明I(x)在a,b上一致收敛 先证明 函数列的狄尼(Din)定理.设连续函数列{n(x)}对每个x∈a,b 为不增的数列。如果皿咖n(x)=0,x∈,b,那么,函数列{on(x)} 在a,b上一致地收敛于0 证明:由条件 o1(x)≥2(x)≥qn(x)≥…,x∈a,b 只需证明:对于任给的∈>0,存在自然数N,使得 0≤φN(x)≤ε,x∈a,b 采用反证法:如果存在ε>0,使得任意自然数n,都存在xn∈ a,b,满足 qhn(xn)≥0,n=1,2 既然,{xn}有界,则存在子列{xn}收敛,记 lim a=xo。这样, 对每个n,只要mk>n,就有 on(xn)≥n( 成立。所以,让k→+∞,有 on(ao) 这与条件 lim(x0)=0矛盾 可类似证明 推广的狄尼(Dini)定理1.设非负的二元函数a(x,y)定义在 a,b×[c,)上。如果o(x,y)满足有1)对于每个y∈[c,),作为x的2  [a, b] %) < I(x)  [a, b] 231 P <  (Dini) Q"%(R {φn(x)} BST x ∈ [a, b] #D$R1UV lim n→∞ φn(x)=0, x ∈ [a, b] )HI)(R {φn(x)}  [a, b] W23 0 1 <;67 φ1(x) ≥ φ2(x) ≥ φn(x) ≥··· , x ∈ [a, b].  <;BCX$ ε > 0 )YZ N )[\ 0 ≤ φN (x) ≤ ε, x ∈ [a, b]. ] ^ _;UVY ε0 > 0 )[\CZ n )`Y xn ∈ [a, b] )a! φn(xn) ≥ ε0, n = 1, 2, ··· . bZ){xn} c)Y"R {xnk} 23)d lim k→∞ xnk = x0 1#$) BST n,  nk > n, e φn(xnk) ≥ φnk (xnk) ≥ ε0 fg1h%)i k → +∞ ) φn(x0) = limk→∞ φn(xnk) ≥ ε0. #&67 lim n→∞ φn(x0)=0 jk1 &lm < '( (Dini)  1. "NO$M)( φ(x, y) n* [a, b]×[c, y0) 1UV φ(x, y) a! 1 BST y ∈ [c, y0), +# x $