函数在[a,上是连续的,(2)对每个x∈叵,b,作为y的函数在 ,)上单调不增,且limφ(x,y)=0,x∈a,b,那么,函数a(x,y) 当y→时关于x在a,b上一致地收敛于0 推广的狄尼(Dini)定理2.设非负的二元函数o(x,y)定义在 a,b×(c,+∞)上。如果(x,y)满足(1)对于每个y∈[c,+∞), 作为x的函数在[u,b上是连续的,(2)对每个x∈[a,b,作为y 的函数在[c,+∞)上单调不增,且limo(x,y)=0,x∈[a,b,那么, 函数o(x,y)当y→+∞时关于x在[a,b上一致地收敛于0 推广的狄尼(Din)定理2的证明.记on(x)=o(x,n),n=1,2,3 由题设条件可知,连续函数列{n(x)}满足函数列的狄尼定理条件, 故{n(x)}在{a,b上一致地收敛于零。因此,对任给的ε>0,存在 自然数N,使得当n≥N时,有0≤n(x)≤ε,对一切x∈[a,b成 鉴于条件(1),当y≥N时,有0≤叭(x,y)≤(x,N)≤∈,对 切x∈[a,成立.所以,函数o(x,y)当y→+∞时关于x在[a,b 上一致地收敛于0 7题的证明:记v(x,y)=f(x,t)d,y∈c,+∞),以及o(x,y)= (x)-f(x,t)d,y∈[c,+∞).容易看到,函数v(x,y),y∈c,+∞),满 足推广的狄尼(Dini)定理2,因此,二元函数(x,y)当y→+∞时关 于x在a,b]上一致地收敛于0,即含参变量广义积分t∞f(x,t)t 在ab]上一致地收敛于I(x)3 ( [a, b] 8%$) 2 BST x ∈ [a, b] )+# y $( [c, y0) opD)* lim y→y− 0 φ(x, y)=0, x ∈ [a, b] )HI)( φ(x, y) + y → y− 0 ,q x  [a, b] W23 0 1 '( (Dini)  2. "NO$M)( φ(x, y) n* [a, b] × [c, +∞) 1UV φ(x, y) a! 1 BST y ∈ [c, +∞), +# x $( [a, b] 8%$) 2 BST x ∈ [a, b] )+# y $( [c, +∞) opD)* lim y→+∞ φ(x, y)=0, x ∈ [a, b] )HI) ( φ(x, y) + y → +∞ ,q x  [a, b] W23 0 1 '( (Dini)  2 ,-Qd φn(x) = φ(x, n), n = 1, 2, 3 ··· . !"67&.)%(R {φn(x)} a!(R$rsnt67) @ {φn(x)}  [a, b] W2301ÆA)BCX$ ε > 0, Y Z N, [\+ n ≥ N ,) 0 ≤ φn(x) ≤ ε, Bu x ∈ [a, b] f g1 v67 1 )+ y ≥ N ,) 0 ≤ φ(x, y) ≤ φ(x, N) ≤ ε )B u x ∈ [a, b] fgQh%)( φ(x, y) + y → +∞ ,q x  [a, b] W23 0 1 7 /,-;d ψ(x, y) =
y c f(x, t) dt, y ∈ [c, +∞), %w φ(x, y) = I(x) −
y c f(x, t) dt, y ∈ [c, +∞). x0yG)( ψ(x, y), y ∈ [c, +∞), a !z{$rs (Dini) nt 2 )ÆA)M)( φ(x, y) + y → +∞ ,q  x  [a, b] W23 0 )L|}Æ~{*
+∞ c f(x, t) dt  [a,b] W23 I(x) 1