思考题和习题解答 52 cOSx=-2 2cosx是本征函数,本征值为-1 x3不是本征函数 dx =-s 是本征函数,本 征值为-1 7.已知函数v=x为算符[d/d2-4a2x]的本征函数,求本征 值 解: dx2 所以本征值为-6a。 8.试求能使e为算符[d2/dx2-Bx2]的本征函数的a值,并求本 征值 解 2e ce -Bxo 若e2是算符的本征函数 则 -Bx2=常数 4a2x2-Bx2=0·158· 思考题和习题解答 d d 2 x x x 2 2 2 cos cos = − ∴2cosx 是本征函数，本征值为-1。 d d 2 x x x 2 3 = 6 ∴ x 3 不是本征函数。 [ ][ ] d d 2 x xx xx 2 sin cos sin cos + =− + ∴sin cos x + x是本征函数，本 征值为-1。 7. 已知函数 2 e x x α ψ − = 为算符 [d2 / dx2 −4α2 x2 ] 的本征函数，求本征 值。 解： ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 6 e 2 e 4 e 4 e 4 e e 4 e d d 4 e d d 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x α α α α α α α α α α α α α α α − − − − − − − − = − = − − + − ⎥ = − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 所以本征值为− 6α 。 8. 试求能使e−αx2 为算符 [d2 / dx2 −Bx2 ] 的本征函数的α值，并求本 征值。 解： 2 2 2 2 e 4 e 2 e e d d 2 2 2 2 2 2 x x x x Bx x Bx x α α α α α α − − − − ⎥ = − − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ( ) 2 4 2 e 2 2 2 x x Bx α α α − = − − 若 2 e−αx 是算符的本征函数 则 4 2 22 2 α α x Bx −− = 常数 即 4 0 22 2 α x Bx − = α = ± B 2