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Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU =△ m/(=a+A)-/a) lim (o, yo Ay)-u(xo, yo),v(xo, yo+Ay)-v(xo, yo) du( ay 既然∫()在二0点可导,那么上面两个极限应相等,于是 Ou(x, y) av(x, y) y1(x0,0) U =y 简记为 av(, y) Ou(x, y) v=-lI Cauchy- -Riema条件不充分,例如:f(2)={0(=0,在z=0附近, 我们有u=x2y2(x2+y),v=xy3/(x2+y2)[显然f()=0(z=0)的定义多余] 虽然,=,=0,v=-l=0.这不是固定点的导数,而是严格意义下的 f1oAneo=0: f(z)==g(x, y)==xy/(x+y) f∫(0)=lim (二+△)g(x,y)+gAx+g,4y+…]-g(x,y) x (8 Ax+g 而f∫(0)=lim =.因此,二=0附近∫(=)不可导! (x=y)=→0y+y (6)复变函数可导的充要条件:f(z)=u(x,y)+ⅳ(x,y)在 0=x0+点可导的充要条件是: a)u(x,y),v(x,y)在(xa,y)处具有一阶偏导数且满足C-R条件一必要条件 b)u(x,y),v(x,y)在(xn,y)处具有一阶连续偏导数且满足C-R条件一充分条件 证明:假设u(x,y),v(x,y)在(x0,y)处具有一阶连续偏导数,因此u(x,y), v(x,y)在(xn,y)处可微,即Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 10 z = x + iy 0 , z = iy , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) , lim ( ) lim 0 0 0 0 , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x y x y y z y v x y y u x y i i y v x y y v x y i i y u x y y u x y z f z z f z   +   = −        +  − +  +  − =  +  −  →  → 既然 f (z) 在 0 z 点可导,那么上面两个极限应相等,于是                = −           =   ( , ) ( , ) 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y y u x y x v x y y v x y x u x y 简记为 x y x y u v v u = = − . Cauchy-Riemann 条件不充分,例如:  2 2 4 0 ( 0) /( ) ( 0) ( ) . z xy z x y z f z = +  = 在 z = 0 附近, 我们有 2 2 2 4 3 2 4 u x y x y v xy x y = + = + /( ) /( ) , [显然 f z z ( ) 0 ( 0) = = 的定义多余]。 虽 然 0, 0. x y x y u v v u = = = − = 这不是 固定点的导数, 而 是 严 格 意 义 下 的 0, 0 ' | 0 : x y f  →  → = 2 2 4 f z zg x y zxy x y ( ) ( , ) / ( ). = = + ' ' 0 ' ' , 0 ( )[ ( , ) ] ( , ) '(0) lim lim [ ( , ) ( )] 0. x y z x y x y z z g x y g x g y zg x y f z z z g x y g x g y z  → → +  +  +  + − =  +  = +  +  + =  而 2 4 4 4 ( ) 0 1 '(0) lim . x y z 2 y f = → y y = = + 因此, z = 0 附近 f z( ) 不可导! (6) 复变函数 可 导 的 充 要 条 件 : f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在 0 0 0 z = x + iy 点可导的充要条件是: a) u(x, y) , v(x, y) 在 ( ) 0 0 x , y 处具有一阶偏导数且满足 C-R 条件—必要条件; b) u(x, y) , v(x, y) 在 ( ) 0 0 x , y 处具有一阶连续偏导数且满足 C-R 条件—充分条件. 证明:假设 u(x, y) , v(x, y) 在 ( ) 0 0 x , y 处具有一阶连续偏导数,因此 u(x, y) , v(x, y) 在 ( ) 0 0 x , y 处可微,即
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