Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU A=2-20时,若极限m(+4)-/(a具 有同一有限值,则称函数∫(=)在点=0可导,称此极 限值为f()在的导数,记为f(=0)或c 注意:*与A→>0的方式无关; 求导f(x)最多有两个方向,而w()可有∞多个方向 *On(x,y)/ax是偏导,d(x+iy)/d是全导。 (5)复变函数可导的必要条件一 Cauchy- Riemann(C-R)条件 设f(x)=l(x,y)+nv(x,y)在 二0=x+0点可导,则(x,y),(x,y)在(x,y)处必定满足 . y) av(x, y) (x0,y av(x,y Ou(x,y) 证明:f(x)=l(x,y)+nv(x,y)在0=x+少点可导,根据定义, mnf(a+2)-/(a)存在,并且与:→三的路径无关。 下面选择两个特殊路径: 首先沿平行于实轴的直线(即y=y为常数), +lyo f(x0+△)-f( lim u(xo+ Ax,yo)-u(=o +iv(o+Ax, yo)-v(ro,y Ou(r,y) Ov(x,y ax ox 然后沿平行于虚轴的直线(即x=x为常数)Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 9 z = z − z0 → 0 时，若极限 ( ) z f z z f z z  +  −  → 0 0 0 ( ) lim 具 有同一有限值，则称函数 f (z) 在点 0 z 可导，称此极 限值为 f (z) 在 0 z 的导数，记为 ( ) 0 f  z 或 0 d d ( ) z z z f z = . 注意:* 与  →z 0 的方式无关; **求导 f x'( ) 最多有两个方向，而 w z'( ) 可有  多个方向。 ***   u x y x ( , ) / 是偏导，df x iy dz ( ) / + 是全导。 （5） 复变函数可导的必要条件—Cauchy-Riemann(C-R)条件： 设 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在 0 0 0 z = x + iy 点可导，则 u(x, y) , v(x, y) 在 ( ) 0 0 x , y 处必定满足                = −           =   ( , ) ( , ) 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y y u x y x v x y y v x y x u x y . 证明： f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在 0 0 0 z = x + iy 点可导,根据定义， ( ) z f z z f z z  +  −  → 0 0 0 ( ) lim 存在，并且与 0 z → z 的路径无关。 下面选择两个特殊路径： 首先沿平行于实轴的直线（即 0 y y = 为常数）， 0 z = x + iy ,z = x , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) , lim ( ) lim 0 0 0 0 , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x y x y x z x v x y i x u x y x v x x y v x y i x u x x y u x y z f z z f z   +   =        +  − +  +  − =  +  −  →  → 然后沿平行于虚轴的直线（即 0 x x = 为常数）