Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU *连续定义中的δ不仅与E有关,还与二点有关 致连续定义中的δ只与E有关,与=0点无关。 例如,f(=)=在区域0<<∞上连续,但不一致连续。 例:求函数f(-)=2x+y2在二0=2i的极限,并判断在该点的连续性。 解:因为 lmn(x,y)=(02) lim 2 因此, lm v(x, y) imf()=0+i4=4i,又 f(=0)=f(2i)=2x+y2=4i 所以,f()=2x+p2在二0=2的极限存在,并连续。 例:求函数()=1三-日在:0=0的极限,并判断在该点的连续性。 解:设z=x+py,则 2 f(=)= pixy =l(x,y)+ⅳv(x,y),显然 v(x,y)=0在(0.0)点的极限存在并连续, 然而,,limu(x,y)= ,不存在,事实上,令 2xy 2x(kx) 2K (xy)→0.0)x2+y x2+(x2、lm lin 612+k2=12+2,对于不同k 值,极限不同,故知u(x,y)在(0,0)点的极限不存在。 所以,f(=) 在zo=0的极限不存在。 2i(2z (4)复变函数的导数:设z0是函数f()的定义域内的一点,当z 在〓0的邻域内沿一切方向、按任何方式趋于点=时,即当Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 8 **连续定义中的  不仅与  有关，还与 0 z 点有关。 一致连续定义中的  只与  有关，与 0 z 点无关。 例如， z f z 1 ( ) = 在区域 0  z   上连续，但不一致连续。 例：求函数 2 f (z) = 2x + iy 在 z 2i 0 = 的极限，并判断在该点的连续性。 解：因为， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      = = = = → → → → lim ( , ) lim 4 lim ( , ) lim 2 0 2 , 0,2 , 0,2 , 0,2 , 0,2 v x y y u x y x x y x y x y x y ，因此， ( ) ( ) f z i i x y lim ( ) 0 4 4 , 0,2 = + = → ，又 f (z ) f (2i) 2x iy 4i 2 0 = = + = 所以， 2 f (z) = 2x + iy 在 z 2i 0 = 的极限存在，并连续。 例：求函数       = − z z z z i f z 2 1 ( ) 在 z0 = 0 的极限，并判断在该点的连续性。 解：设 z = x + iy ，则 ( , ) ( , ) 4 2 2 1 2 1 ( ) 2 2 2 2 u x y iv x y x y x y x y ixy z i z z z i f z = + + = +  =      = − ，显然， v(x, y) = 0 在 (0,0) 点的极限存在并连续， 然而， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , 0,0 , 0,0 2 lim ( , ) lim x y x y u x y x y x y + = → → 不存在，事实上，令 y = kx ，有 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 , 0,0 1 2 1 2 lim 2 ( ) lim 2 lim k k k k x k x x k x x y x y y kx x y kx x y x + = + = + = + = → → = → → → ，对于不同 k 值，极限不同，故知 u(x, y) 在 (0,0) 点的极限不存在。 所以，       = − z z z z i f z 2 1 ( ) 在 z0 = 0 的极限不存在。 （4） 复变函数的导数：设 0 z 是函数 f (z) 的定义域内的一点，当 z 在 0 z 的邻域内沿一切方向、按任何方式趋于点 0 z 时，即当