Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU (2)复变函数的极限:设二0是函数f()的定义域内的一点,如果对 VE>0,都彐>0,(隐含(E),O(二0)和E(=0))使得对于任意满足条 件0<-0|<6的复数z,都有f()-4<E,那么复数A(有限)称 为函数=f(=)当z趋于二0时的极限,记为lmf()=A.如果复数A 无限,则称函数f()在=0处发散( divergence)。设 f(z)=u(x,y)+n(x,y),A=u0+m,=0=x0+,则 lm u(x, y)=lo m f(a=A y→y0 lim v(x,y)=vo (3)复变函数的连续与一致连续:vE,36>0,当=--0<8,恒有 (-)-f(-0)<,那么称函数w=f()在点=连续(在点二邻域 连续)[等价定义:设二0是函数f()的定义域内的一点, ()=f(=0),那么称函数W=f()在点=连 如果函数w=f()在区域D上的每一点都连续,则称函数 =f()在区域D上是连续的 注:f()=(xy)+m(xy)在=0=x+00处连续e(xy)均在 v( x,y) (x,y)处连续 vE,36>0,对任何=∈D,只要-0<8,且z∈D,恒有 (-)-f(=)<6,那么称函数w=f(=)在D上一致连续 [等价定义:如果VE,3δ>0,只要1-2|<δ,=,2∈D, 恒有f(-)-f(=2)<E,那么称函数w=()在D上一致连续 注:*函数f()在区域D上一致连续,一定在D上连续。Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 7 (2) 复变函数的极限：设 0 z 是函数 f (z) 的定义域内的一点，如果对   0 ，都    0，（隐含  ( ) ， 0  ( ) z 和 0  ( ) z ）使得对于任意满足条 件 0  z − z0   的复数 z ，都有 f (z) − A   ，那么复数 A （有限）称 为函数 w = f (z) 当 z 趋于 0 z 时的极限，记为 f z A z z = → lim ( ) 0 . 如果复数 A 无 限 ， 则 称 函 数 f (z) 在 0 z 处 发 散 （ divergence ）。 设 f (z) = u(x, y) + iv(x, y)， 0 0 A = u + iv ， 0 0 0 z = x + iy ，则       = = =  → → → → → 0 0 lim ( , ) lim ( , ) lim ( ) 0 0 0 0 0 v x y v u x y u f z A y y x x y y x x z z . (3)复变函数的连续与一致连续：  ，  0 ，当 z − z0   ，恒有 ( ) − ( )   0 f z f z ，那么称函数 w = f (z) 在点 0 z 连续（在点 0 z 邻域 连续） [等价定义：设 0 z 是函数 f (z) 的定义域内的一点， lim ( ) ( ) 0 0 f z f z z z = → ，那么称函数 w = f (z) 在点 0 z 连续]， 如果函数 w = f (z) 在区域 D 上的每一点都连续，则称函数 w = f (z) 在区域 D 上是连续的。 注： f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在 0 0 0 z = x + iy 处连续     ( , ) ( , ) v x y u x y 均在 ( , ) 0 0 x y 处连续。  ，   0 ，对任何 z0 D ，只要 z − z0   ，且 z D ，恒有 ( ) − ( )   0 f z f z ，那么称函数 w = f (z) 在 D 上一致连续 [等价定义：如果  ，   0 ，只要 z1 − z2   ， 1 2 z z, D ， 恒有 ( ) − ( )   1 2 f z f z ，那么称函数 w = f (z) 在 D 上一致连续]。 注：* 函数 f (z) 在区域 D 上一致连续，一定在 D 上连续