定理(极值第二充分条件) 设函数f(x)在点x具有二阶导数,且f(x)= 则1)若∫(x)<0时,x0为f(x)极大值点; 2)若∫"(x)>0时,x为f(x)极小值点; 3)若∫"(x0)=0时,则不能判定x是否为极值点 证:1)∵f(x)=0,由在x=x0的 Taylor公式, f(x)=f(x)+f(x)(x-x)+f"(x)(x-x)2+0(x-xn)2) f(x)+f"(x0)(x-x0)2+0(x-x)2) f∫(x)-f∫( 0(x-x xo)+ x- r- 0 m f(x)-f(xo ∫"(x0)<0 x→>0 r-9 0 f x ( ) 0  定理(极值第二充分条件) 设函数 f (x) 在点 x0 具有二阶导数，且 0 则1）若 f x ( ) 0  时， x0 为f (x) 极大值点； 0 2）若 f x ( ) 0  时，x0 为f (x) 极小值点； 0 3）若 f x ( ) 0  时，则不能判定 x0 是否为极值点。 证：1） 2 2 0 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) (( ) ) 2 f x f x f x x x f x x x o x x          0 0 f x ( ) 0 ,  由在 x = x0 的 Taylor 公式， 2 2 0 0 0 0 1 ( ) ( )( ) (( ) ) 2      f x f x x x o x x  2 0 0 2 2 0 0 0 ( ) ( ) (( ) ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) f x f x o x x f x x x x x         0 0 2 0 0 ( ) ( ) 1 lim ( ) x x ( ) 2 f x f x f x  x x     