第四章谐振子与角动量 1.一维线形谐振子 对于任意势,在某个最小点x附近,均可以按 Taylor,展开 y(x)=(x)+"(x)(x-x)+-"(x)(x-x)2+ XO 其中,常数项V(x)可以归并到能量中去。在势最小值点,有V(x)=0。略去高阶项,有 (x)=V(x)(x-x0) 近似为谐振子势。故研究谐振子问题具有普遍意义。 经典:_p2,1mm2x2 2m =P2+1mx2 量子: 2m2 [问=i,与表象无关。 1)在坐标表象求解 2m d +3m@xv(x)=Ey(x) imv(x)=0,束缚条件 解为(见 Griffiths书) En=n+ho,n=0,1,2 mo m0 y(x) H h Hn(x)为 Hermite多项式。第四章 谐振子与角动量 1. 一维线形谐振子 ( ) 1 2 2 2 V x = mω x 对于任意势，在某个最小点 0 x 附近，均可以按Taylor 展开： ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 0 0 0 0 0 1 2 V x = + V x V′ ′ x x − x + V ′ x x − x +" 其中，常数项V x( 0 ) 可以归并到能量中去。在势最小值点，有V x ′( ) 0 = 0。略去高阶项，有 ( ) ( )( ) 2 0 0 1 2 V x  V′′ x x − x ， 近似为谐振子势。故研究谐振子问题具有普遍意义。 经典： 2 1 2 2 2 2 p H m m = + ω x 量子： [ ] 2 2 2 ˆ 1 ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆ , , p H m x m x p i ω ⎧ ⎪ = + ⎨ ⎪ = ⎩ = 与表象无关。 1）在坐标表象求解 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 lim 0, x d m x x E x m dx x ω ψ ψ ψ →±∞ ⎧⎛ ⎞ ⎪⎜ ⎟ − + = ⎨⎝ ⎠ ⎪ = ⎩ = 束缚条件 ， 解为(见 Griffiths 书)： ( ) 1/ 4 2 1 , 0,1, 2 2 1 2 2 ! n m x n n n E n n m m x H n ω ω ω ω ψ − ⎧ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ = ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎛ ⎞ ⎪ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ ⎝ ⎠ = = " = = x e H x n ( )为Hermite多项式。 4