例1158设随机变量5,n相互独立,且都服从正态分布N0.,求随 机变量|2-m|的数学期望和方差。 解由已知 E5=En=0,D5=D1=2 令5=5-n,则由ξ,m的相互独立性知, E=E(2-m)=E5-En=0,D2=D(2-n)=D2+Dn=1, 且由定理11.4.3知,z服从正态分布N(0,1)。 因此 E|5-n=E|51x1=e2d o xe=dx=6J 因为 E(5-n1)=E(2)=D+(E2)2=1, 所以 D|-n=E(2-m|2)-(E|-mD2=1 2 五.协方差与相关系数 在引入这些数字特征之前,我们先介绍关于二维随机变量的函数的数学期望 的计算方法 定理11.5.2设(ξ,)是二维随机变量,∫是二元连续函数 (1)若(,)是离散型随机变量,其分布为P(5=x,n=y)=P (j=12…),则当∑|(x1,y)|P收敛时,随机变量5=f(5,m)的数学期望存 在,且 E5=E(,m)=∑f(x,y)P (2)若(ξ,η)是连续型随机变量,其联合概率密度为φ(x,y),则当 ∫(x,y)|o(x, yard收敛时,随机变量=f(5,m)的数学期望存在,且 E5=(m=二二f(x,yxyd 此定理的证明从略。 例119设D={(x,y)0<x<20<y<},二元连续型随机变量(5m)的 联合概率密度为 p(x, y) ∫2x,(x,y)∈D 0,其他 求E(57)例 11.5.8 设随机变量  ， 相互独立，且都服从正态分布       2 1 N 0, ，求随 机变量 |   | 的数学期望和方差。 解 由已知 E  E  0， 2 1 D  D  。 令     ，则由  ， 的相互独立性知， E  E( )  E  E  0， D  D( )  D  D 1， 且由定理 11.4.3 知，  服从正态分布 N(0, 1)。 因此 . 2 2 2 2 2 2 2 1 | | | | | | 0 2 2 0 2 2 2 2 2                               x xe dx e d E E x e dx x x x 因为 (| | ) ( ) ( ) 1 2 2 2 E    E   D  E  ， 所以        2 | | (| | ) ( | |) 1 2 2 D   E   E    。 五．协方差与相关系数 在引入这些数字特征之前，我们先介绍关于二维随机变量的函数的数学期望 的计算方法。 定理 11.5.2 设 (,) 是二维随机变量， f 是二元连续函数。 （ 1 ） 若 (,) 是离散型随机变量，其分布为 i j pij P(  x ,  y )  (i, j 1,2, ) ，则当   , 1 | ( , ) | i j i j pij f x y 收敛时，随机变量   f (,) 的数学期望存 在，且      , 1 ( , ) ( , ) i j i j pij E Ef   f x y ； （2）若 (,) 是连续型随机变量，其联合概率密度为 (x, y) ，则当       | f (x, y) |(x, y)dxdy 收敛时，随机变量   f (,) 的数学期望存在，且       E  Ef (,)  f (x, y)(x, y)dxdy 。 此定理的证明从略。 例 11.5.9 设            2 ( , ) | 0 2, 0 x D x y x y ，二元连续型随机变量 (,) 的 联合概率密度为      0 . 2 ( , ) , ( , ) ， 其他 xy， x y D  x y 求 E()