厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.771.116:;域名: gdjpkc. xmu.edu.cn §59对称多项式 教学目的与要求正确理解对称多项式的基本定理,掌握将对称多项式化为初等 对称多项式的多项式的方法;掌握 Newton公式,能用于具体计算 对称多项式 定义设∫(x1,x2,……,n)∈K[x1,…,x,如果对于任意的1≤i≠j≤m,有 则称f(x1,x2,……,xn)是K上m元对称多项式 例x2+2+n3是三元对称多项式,不是四元对称多项式.n-x1x2不是二 元对称多项式. 注∫(x1,x2…,xn)是n元对称多项式的充分必要条件是对(x1,x2,…,xn)的 任意排列(xk1,xk2,…,xkn),有f(xk1,xk2,…,xkn)=f(x1,x2,…,xn) 命题对称多项式之和是对称多项式;对称多项式之积是对称多项式;对称多项 式的多项式是对称多项式 证明设g(x1,…,xn),h(x1,…,xn)是对称多项式.则 )+h(…,r )+h(…,x xj,…)h(…,x,……,x;,…) hi 设f(x1,……,xn),1≤i≤m是K[x1,…,xn]的对称多项式,g(y1,……,ym)是 K[y1,…,m上的多项式,则 h(x1,…,xn)=g(f1(x1,……,xn),∫2(x1,…,xn),……,fm(x1,…,xn)) 也是关于x1,…,xn的对称多项式.口X3 yH ( IP !0 59.77.1.116; #\ gdjpkc.xmu.edu.cn §5.9 ')q EPK?TQL +fPJ')q$P￾)G')q? ')q)q.,) Newton 7q￾^!K￾D|

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R m f(x1, x2, · · · , xn) ∈ K[x1, · · · , xn], i:'!h 1 ≤ i 6= j ≤ n, f(x1, · · · , xi , · · · , xj , · · · , xn) = f(x1, · · · , xj , · · · , xi , · · · , xn), & f(x1, x2, · · · , xn) t K l n $')q
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V f(x1, x2, · · · , xn) t n $')q0 Ft' (x1, x2, · · · , xn)  h_T (xk1 , xk2 , · · · , xkn ), f(xk1 , xk2 , · · · , xkn ) = f(x1, x2, · · · , xn). JN ')q.=t')q')q.At')q') q)qt')q
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& g(· · · , xi , · · · , xj , · · ·) + h(· · · , xi , · · · , xj , · · ·) = g(· · · , xj , · · · , xi , · · ·) + h(· · · , xj , · · · , xi , · · ·); g(· · · , xi , · · · , xj , · · ·)h(· · · , xi , · · · , xj , · · ·) = g(· · · , xj , · · · , xi , · · ·)h(· · · , xj , · · · , xi , · · ·). m fi(x1, · · · , xn), 1 ≤ i ≤ m t K[x1, · · · , xn] ')q￾ g(y1, · · · , ym) t K[y1, · · · , ym] l)q￾& h(x1, · · · , xn) = g(f1(x1, · · · , xn), f2(x1, · · · , xn), · · · , fm(x1, · · · , xn)) t9! x1, · · ·, xn ')q
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