对称多项式的基本定理 下列对称多项式称为初等对称多项式: O1=1+x2+ 02=1x2+…+x1Tn .n-1 n 03=21≤<j<k≤njk On=12·‘ 注设f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn),则f(x)=xn-a1x-1+a2x-2+ 下面定理指出:任意对称多项式都可唯一表示为初等对称多项式的多项式 对称多项式基本定理设f(x1,x2,…,xn)是K上对称多项式,则必存在K上 唯一多项式g(1,v,……,犰n),使得∫(x1,x2,……,xn)=9(01,O2,…,On) 证明存在性设f(x1,x2,…,xn)以字典排列的首项系数为ar1x2 0,则必有i1≥i2…≥in,事实上,因为∫(x1,x2,……,xn)是对称多项式,若i1<i2, 则理2…x…也是此多项式的单项式,与字典排列矛盾 令9(x1,x2,…,xn)=a01-2-3…am-1om,显然g(x1,x2,…,xn)为对称多 项式且首项为ax1-2(x1x2)2-3…(x1…xn)=an12…rh,与f(x1,r2,…,xn) 的首项相同. 令f1(x1,…,xn)=∫(x1,…,xn)-9(x1,……,xn),则f1(x1,…,xn)是x1,…,xn 的对称多项式,首项系数的字典排列在∫(x1,……,xn)的首项排列之后.重复上述做 法,得到f0=f,f1=f0-91,f2=f1-92,…,f3-1=f-2-9s-1,fs=f3-1-9s=0 于是f=f1+91=f2+91+92=…=91+g2+…+gs,而92是1,02,……,On的 多项式,故∫可表示为a1,02,…,On的多项式 唯一性:设g(1,y2,……,mn),h(2y,…,n)是K上n元多项式,使 g( 令φ(y,y2,…,孙n)=g(y,y,…,yn)-h(犰,v,…,n),则φ(a1,O2,…,On)=0.,我 们要证(,y;…,yn)=0.反证法否则,假设y(y1,y,…,mn)=ay2…yhn++
')q$P
T')q')q σ1 = x1 + x2 + · · · + xn = Σn i=1xi σ2 = x1x2 + · · · + x1xn + · · · + xn−1xn = Σ1≤i<j≤nxixj σ3 = Σ1≤i<j<k≤nxixjxk ... σn = x1x2 · · · xn. V m f(x) = (x − x1)(x − x2)· · ·(x − xn), & f(x) = x n − σ1x n−1 + σ2x n−2 + · · · + (−1)nσn. Z$P1h')q%Nr')q)q
A>BOMD=G m f(x1, x2, · · · , xn) t K l')q￾& % K l )q g(y1, y2, · · · , yn), p f(x1, x2, · · · , xn) = g(σ1, σ2, · · · , σn). UI %
m f(x1, x2, · · · , xn) 6#_Tu x axi1 1 x i2 2 · · · x in n , a 6= 0, & i1 ≥ i2 · · · ≥ in. sol￾ f(x1, x2, · · · , xn) t')q￾j i1 < i2, & x i2 1 x i1 2 · · · x ij j · · · x in n t)qq￾"6#_TW(
U g(x1, x2, · · · , xn) = aσi1−i2 1 σ i2−i3 2 · · · σ in−1 n−1 σ in n , g g(x1, x2, · · · , xn) ') q￾bu ax i1−i2 1 (x1x2) i2−i3 · · ·(x1 · · · xn) in = ax i1 1 x i2 2 · · · x in n , " f(x1, x2, · · · , xn) uÆ
U f1(x1, · · · , xn) = f(x1, · · · , xn)−g(x1, · · · , xn), & f1(x1, · · · , xn) t x1, · · · , xn ')q￾u x6#_T% f(x1, · · · , xn) u_T.>
52lw; ,￾ f0 = f, f1 = f0−g1, f2 = f1−g2, · · · , fs−1 = fs−2−gs−1, fs = fs−1−gs = 0, !t f = f1 + g1 = f2 + g1 + g2 = · · · = g1 + g2 + · · · + gs, * gi t σ1, σ2, · · · , σn  )q￾8 f Nr σ1, σ2, · · · , σn )q
m g(y1, y2, · · · , yn), h(y1, y2, · · · , yn) t K l n $)q￾p f(x1, x2, · · · , xn) = g(σ1, σ2, · · · , σn) = h(σ1, σ2, · · · , σn). U ϕ(y1, y2, · · · , yn) = g(y1, y2, · · · , yn)−h(y1, y2, · · · , yn), & ϕ(σ1, σ2, · · · , σn) = 0,  Y, ϕ(y1, y2, · · · , yn) = 0. -,,
1&￾Em ϕ(y1, y2, · · · , yn) = ay k1 1 y k2 2 · · · y kn n + 2