by1y2…m+…,其中a,b,…均不为0,且各单项式中无同类项,在φ(a1,O2,……,O aa2…o如=ax(x1x2 b01o2…an=bn1(x1x2)2……(x1x2…xn)n+ =bx1t+…+nx2+3++n 因此ao饣a2…如与b12…m等化为x1,x2,…,xn的多项式后首项均不相 同,因此φ(σ1,a2,……,an)≠0.矛盾.口 例1将f( r2x2+x2x3+x12+x13+m23+n2x3+23表为 1,O2,O3的多项式 正明(法一)f(x1,x2,x3)的首项系数为xix2,令 a1-1a2=0102=(x1+x2+x3)(x1x2+x1x3+x2x3)=x2x2+x2x3+x1x3+2x3+ x22+3r1x2r3,所以f(x1,2,x3)=0102-303 (法二)这是齐次多项式,首项为xx2,指标集为(2,1,0).证明过程中指标f的 首项指标集只能为(1,1,1)相应的单项式为a1-o2oa=0102,d1-1o-la}=03 设∫=0102+bo3,令x1=m2=x3=1,01=3,02=3,03=1.f(x1,x2,x3)=6. 由6=3:3+b·1得b=-3,因此f(x1,x2,x3)=0102-303.口 例2将对称多项式f(x1,x2,x3)=(a+m2)(x1+3(n2+3)表为初等对称多 项式的多项式 证明∫是齐次多项式,次数为6,首项为xn2,指标为(4,2.,0),次数为6 指标比(4,2,0)小的只可能是(4,1,1),(3,3,0),(3,2,1),(2,2,2),相应的单项式为 a3o3,o3-3a2-08=02,oi-202a=010203,02-2a2-203=03,设 f=0102+a003+b02+c010203+do3, 取x1,x2,x3特殊值,得到a=-2,b=-2,c=4,d=-1.所以∫=072-20o3 202+41023-0 注若∫非齐次多项式,将∫分解为齐次多项式之和 Newton公式byj1 1 y j2 2 · · · y jn n +· · ·, `3 a, b, · · · LÆ 0, b5q3 O￾% ϕ(σ1, σ2, · · · , σn) 3 aσ k1 1 σ k2 2 · · · σ kn n = ax k1 1 (x1x2) k2 · · ·(x1x2 · · · xn) kn + · · · = ax k1+k2+···+kn 1 x k2+k3+···+kn 2 · · · x kn n + · · ·, bσj1 1 σ j2 2 · · · σ jn n = bxj1 1 (x1x2) j2 · · ·(x1x2 · · · xn) jn + · · · = bxj1+j2+···+jn 1 x j2+j3+···+jn 2 · · · x jn n + · · ·,  aσ k1 1 σ k2 2 · · · σ kn n " bσj1 1 σ j2 2 · · · σ jn n ? x1, x2, · · · , xn )q>uLÆÆ ￾ ϕ(σ1, σ2, · · · , σn) 6= 0. W(
2 H 1 G f(x1, x2, x3) = x 2 1x2 + x 2 1x3 + x1x 2 2 + x1x 2 3 + x 2 2x3 + x 2 2x3 + x2x 2 3  σ1, σ2, σ3 )q
UI (,)f(x1, x2, x3) u x x 2 1x2, U σ 2−1 1 σ2 = σ1σ2 = (x1 + x2 + x3)(x1x2 + x1x3 + x2x3) = x 2 1x2 + x 2 1x3 + x1x 2 3 + x 2 2x3 + x2x 2 3 + 3x1x2x3, } f(x1, x2, x3) = σ1σ2 − 3σ3. (,+) *ta)q￾u x 2 1x2, 1 B (2, 1, 0). ,[;31 fi  u1 B2^ (1, 1, 1), Æq σ 2−1 1 σ 1−0 2 σ 0 3 = σ1σ2, σ 1−1 1 σ 1−1 2 σ 1 3 = σ3. m f = σ1σ2 +bσ3, U x1 = x2 = x3 = 1, σ1 = 3, σ2 = 3, σ3 = 1.f(x1, x2, x3) = 6.  6 = 3 · 3 + b · 1  b = −3,  f(x1, x2, x3) = σ1σ2 − 3σ3. 2 H 2 G')q f(x1, x2, x3) = (x 2 1 + x 2 2 )(x 2 1 + x 2 3 )(x 2 2 + x 2 3 ) ') q)q
UI f ta)q￾x 6, u x 4 1x 2 2 , 1  (4, 2, 0), x 6, 1  (4, 2, 0) 2N^t (4, 1, 1),(3, 3, 0),(3, 2, 1),(2, 2, 2), Æq σ 4−1 1 σ 1−1 2 σ 1 3 = σ 3 1σ3, σ3−3 1 σ 3−0 2 σ 0 3 = σ 3 2 , σ3−2 1 σ 2−1 2 σ 1 3 = σ1σ2σ3, σ2−2 1 σ 2−2 2 σ 2 3 = σ 2 3 , m f = σ 2 1σ 2 2 + aσ3 1σ3 + bσ3 2 + cσ1σ2σ3 + dσ2 3 , e x1, x2, x3 ~v/￾ a = −2, b = −2, c = 4, d = −1. } f = σ 2 1σ 2 2 − 2σ 3 1σ3 − 2σ 3 2 + 4σ1σ2σ3 − σ 2 3 . V j f /a)q￾G f 0Ja)q.=
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Newton 7q 3