Newton公式 证Sk=++…+xn 因k≤n时,有Sk-8k-101+5k-202-…+(-1)-b10k-1+(-1)kok=0 因k>n时,有Sk-8k-101+8k-202-…+(-1)sk-nOn=0. 引将设f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=mn-01xn-1+…+(-1)o 则 x+r"(x)=(50x+s1 +Sk-1a+sk)f(r)+g(r), 其中dego(x)<n 令明因f(x)=∑m1f(x),所单 k+1 r(a)=∑-fa)=∑ f(x)+ ∑ f(ar) +r4-1x+x4)f(x)+g(x), 这里g()=f(x,显然dg(x)<n.因此, +Sk)∫(x)+g(x), 其中degg(x)<n.口 Newton公式化令明 因为f(x)=xn-01x-1+…+(-1)o;xn-+…+(-1)n-1an-1x+(-1)an 所单 1 等到理知 k+ln r (-1)(n-i) (s0x+s1xk-1+…+Sk-1x+sk)(xn-a1xn-1+…+(-1)"on)+9(x)Newton CM U sk = x k 1 + x k 2 + · · · + x k n ,  k ≤ n n￾ sk − sk−1σ1 + sk−2σ2 − · · · + (−1)k−1 s1σk−1 + (−1)kkσk = 0.  k > n n￾ sk − sk−1σ1 + sk−2σ2 − · · · + (−1)n sk−nσn = 0. SG m f(x) = (x − x1)(x − x2)· · ·(x − xn) = x n − σ1x n−1 + · · · + (−1)nσn, & x k+1f ′ (x) = (s0x k + s1x k−1 + · · · + sk−1x + sk)f(x) + g(x), `3 degg(x) < n. UI  f ′ (x) = Pn i=1 1 x−xi f(x), } x k+1f ′ (x) = Xn i=1 x k+1 x − xi f(x) = Xn i=1 x k+1 − x k+1 i x − xi f(x) +Xn i=1 x k+1 i x − xi f(x) = Xn i=1 (x k + xix k−1 + x 2 i x k−2 + · · · + x k−1 i x + x k i )f(x) + g(x), *Q g(x) = x k+1 i x−xi f(x), g degg(x) < n. ￾ x k+1f ′ (x) = (s0x k + s1x k−1 + · · · + sk−1x + sk)f(x) + g(x), `3 degg(x) < n. 2 Newton CM?UI  f(x) = x n − σ1x n−1 + · · · + (−1)iσix n−i + · · · + (−1)n−1σn−1x + (−1)nσn, } x k+1f ′ (x) = x k+1[nxn−1 − (n − 1)σ1x n−2 + · · · + (n − i)(−1)iσix n−i−1 + · · · + 2(−1)n−2 σn−2x + (−1)n−1 σn−1]. P￾x k+1[nxn−1 − (n − 1)σ1x n−2 + · · · + (−1)i (n − i)σix n−i−1 + · · · + (−1)n−1σn−1] = (s0x k + s1x k−1 + · · · + sk−1x + sk)(x n − σ1x n−1 + · · · + (−1)nσn) + g(x). 4