《高等数学》下册教案 第七章常微分方程 第七章微分方程 §1、微分方程的基本概念 一.概念 1.引例 (1)一曲钱经过点(L,2),且曲线上任意一点(x,y)处的切线的斜率等于该点的横坐标，试确定此 曲线的方程。 解：由老意及学数的几行意又，有)/=，不章得出y=号+©：又因为南线丝过点@)，即 0=2,可得=4,所由钱方相有：y子4 (2)在真空中，自静止状态自由下落的物体的运动方程（路程函数） 解：自由下落时，物体所受到的外力为F=mg,根据牛顿第二定律：F=ma,有ma=mg, 即a=g:又口密，则空8，或v=+6:又国为会，则密+：从而 =0=+1+6:由条件0=0,0=0，可以璃定G=6=0,所求物体的运动方 程为：s0=28。 2.常微分方程的基本概念 常微分方程：含有未知函数的导数或高阶导数的方程： 方程的“阶”：方程中未知函数导数的最高阶数： 方程的“解”：使方程成为恒等式或满足方程的函效： 方程的“通解”：方程的解中含有与方程的阶数相同个数的任意常数： 方程的“初始条件”：用来确定方程通解中中任意常数的条件： 方程的“特解”：方程通解中中任意常数被确定之后的解： 通解的几何意义：以任意常数为参数的积分曲线族： 线性常微分方程：关于未知函数及其各阶导数均为一次的方程。 如，线性微分方程：y+xy=x:非线性微分方程：y+yy+x=0 §2、一阶微分方程