《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 类似可给出左极限定义(U(化：)，无-6<x<,mf)=A或f)→x→x)或 fx-0)=A). 注右极限与左极限统称为单侧极限。 (三)例子 例1讨论函数(x)在x=0的左、右极限. 例2讨论sgnx在x=0的左、右极限. 例3讨论函数V-x2在±1处的单侧极限 (四)函数极限1imfx)与imfx),lim f(x)的关系 定理3.1mx)=A台im=四x)=4, 正明必要性：Ve>0,由A,36>0,使得当0<k-小k6时，有 )-4<E,特别地当0<x-%<6时，有/)-A<8,故巴f)=4 同理当0<-<6时，也有)-A<6,故，f=A 充分性：V6>0,由即)=A,38>0,使得当0<x-6<6时，有)-A<6, 又由即)=A,36,>0,使得当0<-x<d时，有闭-4<E.令=m6,), 当0<-<时，有)-A<c,故网f国=4 注：1)利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：1m(x)=0.还可说明某些函数 极限不存在，如由例2知imsgn x不存在.2)f化+0)，化，-0)，化)可能毫无关系，如例 作业教材P47一482一7.《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 8 类似可给出左极限定义（ 0 0 U x( ; )  − ， 0 0 x x x −    ， 0 lim ( ) x x f x A → − = 或 0 f x A x x ( ) ( ) → → − 或 0 f x A ( 0) − = ）. 注 右极限与左极限统称为单侧极限. (三) 例子 例 1 讨论函数 1 f x( ) 在 x = 0 的左、右极限. 例 2 讨论 sgn x 在 x = 0 的左、右极限. 例 3 讨论函数 2 1− x 在 1 处的单侧极限. (四) 函数极限 0 lim ( ) x x f x → 与 0 0 lim ( ), lim ( ) x x x x f x f x → → + − 的关系 定理 3.1 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x A f x f x A → → → + − =  = = . 证 明 必要性 :    0 , 由 f x A x x = → lim ( ) 0 ,    0 , 使得当 0  x − x0   时，有 f (x) − A   ，特别地当 0  x − x0   时，有 f (x) − A   ，故 f x A x x = → + lim ( ) 0 0 . 同理当 0  x0 − x   时，也有 f (x) − A   , 故 f x A x x = → − lim ( ) 0 0 . 充分性:    0 , 由 f x A x x = → + lim ( ) 0 0 ， 1  0, 使得当 0  − 0   1 x x 时，有 f (x) − A   , 又由 f x A x x = → − lim ( ) 0 0 ,  2  0, 使得当 0  0 −   2 x x 时，有 f (x) − A   . 令 min( , )  =  1  2 , 当 0  x − x0   时，有 f (x) − A   ，故 f x A x x = → lim ( ) 0 . 注：1）利用此可验证函数极限的存在，如由定理 3.1 知： 1 0 lim ( ) 0 x f x → = .还可说明某些函数 极限不存在，如由例 2 知 0 limsgn x x → 不存在.2） 0 f x( 0) + ， 0 f x( 0) − ， 0 f x( ) 可能毫无关系，如例 2. 作业 教材 P47—48 2—7