《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 证明由x≠3， |x23-3x2+3x-912x2+3)(x-3)12 2x2-7x+3-5(2x-0x-3)-5 |x2+3125x-9x-35x-9x-3 2x-155px- 2x-1 为使5x-9=5x-15+6≤5r-3到+6≤1l,需有x-3< 为使2x-1=2x-6+525-24r-3到>1 需有r-3<2 于是，倘限制0<-3<1，就有 2-3x+3x-9_2≤5x-x-3s4-3=1k- 2x2-7x+3-5 2x-1 1 练习11、证明回岩=3：2正男一-6 三、单侧极限 (一)引言 有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如 )=/rr≥0 x,x<0 或函数在某些点仅在其一侧有定义，如 f3(x)=VF,x20. 这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法）， 而要从这些点的某一侧来讨论.如讨论(x)在x→0时的极限.要在x=0的左右两侧分别讨论 即当x>0而趋于0时，应按(x)=x2来考察函数值的变化趋势：当x<0而趋于0时，应按 (x)=x来考察函数值的变化趋势：而对5(x),只能在点x=0的右侧，即x>0而趋于0时来 考察.为此，引进“单侧极限”的概念. (二)单侧极限的定义 定义3设函数∫在U(x:)内有定义，A为定数.若对任给的s>0,36(<8)>0,使得 当，<x<x+6时有1f(x)-AkE,则称数A为函数∫当x趋于x,时的右极限，记作 国=A或)→4x→x或6+0)=A. 《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 7 证明 由 x  3, 5 12 (2 1) ( 3) ( 3) ( 3) 5 12 2 7 3 3 3 9 2 2 3 2 − − − + − − = − + − + − x x x x x x x x x = . 2 1 5 9 3 52 1 5 9 3 5 12 2 1 3 2 − − −  − − − − = − + x x x x x x x x 为使 5x −9 = 5x −15+ 6  5 x −3 + 6 11, 需有 x −3 1; 为使 2x −1 = 2x − 6 + 5  5− 2 x −3 1, 需有 x − 3  2. 于是, 倘限制 0  x −3 1 , 就有 5 12 2 7 3 3 3 9 2 3 2 − − + − + − x x x x x 2 1 5 9 3 − − −  x x x 11 3.  1 11 3 = − −  x x . 练习 1 1、证明 3 1 1 lim 3 x 1 x → x − = − ; 2、证明 6 5 lim 6 x x →+ x + = . 三、单侧极限 (一) 引言 有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如 2 1 , 0 ( ) , 0 x x f x x x   =    或函数在某些点仅在其一侧有定义，如 2 f x x x ( ) , 0 =  . 这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法）， 而要从这些点的某一侧来讨论.如讨论 1 f x( ) 在 x →0 时的极限.要在 x = 0 的左右两侧分别讨论. 即当 x  0 而趋于 0 时，应按 2 1 f x x ( ) = 来考察函数值的变化趋势；当 x  0 而趋于 0 时，应按 1 f x x ( ) = 来考察函数值的变化趋势；而对 2 f x( ) ，只能在点 x = 0 的右侧，即 x  0 而趋于 0 时来 考察.为此，引进“单侧极限”的概念. (二) 单侧极限的定义 定义 3 设函数 f 在 0 0 U x( ; )  +  内有定义，Ａ为定数.若对任给的         0, ( ) 0  ，使得 当 0 0 x x x   + 时有 | ( ) | f x A −   , 则称数Ａ为函数 f 当 x 趋于 0 x 时的右极限，记作 0 lim ( ) x x f x A → + = 或 0 f x A x x ( ) ( ) → → + 或 0 f x A ( 0) + =