证明定二次型f(x1x2,…,xn)=XAX经可逆线性 变换X=CY变成新变元的二次型 g(V1,y2…,yn)=YBY,B=CAC,或A=(C-)BC 对任何Y7=(k1,k2,…,kn)≠O,由X=CY有Y=CX, 2|=C12由于k1k2…k,不全为零由克莱姆法 则方程组有非零解X。=(c1, g(k1,k2,…kn)=YBy=(CX。)B(CX) =X。(C)BC-X。=X。AX。=f(c1,c2,…,Cn)>0 从而g(1,y2…,yn)是正定的。11 21 21 ,),,,( )(, ),,,( −− = = = = = BCCAACCBBYYyyyg CYX AXXxxxf T T T n T n 或 变换 变成新变元的二次型 正定二次型 经可逆线性 L 证明： L ,),,,( , 1 21 XCYCYXOkkkY T n T − 对任何 = L 由 有 ==≠ 2 1 1 − = ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ C kkknM ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ nxxxM21 则 方程组有非零解 由于 不全为零 由克莱姆法 , ,,, , 21 n L kkk T ncccX ),,,( o = 21 L BYYkkkg T 21 L n ),,,( = o XBCCX o T T 11)( −− = 0),,,( = = 21 n > T oo L cccfAXX )()( 1 1 o XCBXC o − T − = 从而 21 L yyyg n 是正定的 ),,,(